[论文解读] Convergence of the Eilenberg-Moore spectral sequence for generalized cohomology theories

Tilman Bauer|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文在特定同伦条件下确立了基于 $K(n)$ 的 Eilenberg-Moore 族谱序列（EMSS）的收敛性：当基空间为 $p$-局部有限的 Postnikov 系统且第 $(n+1)$ 个同伦群为平凡时。关键结果是，若全空间与纤维均为有限 CW 复形，则该 EMSS 以 ind-一致方式收敛于同伦拉前面的 $K(n)$-同调，从而保证目标为有限的 $K(n)_*$-模。

ABSTRACT

We prove that the Morava-$K$-theory-based Eilenberg-Moore spectral sequence has good convergence properties whenever the base space is a $p$-local finite Postnikov system with vanishing $(n+1)$st homotopy group.

研究动机与目标

• 解决非连通广义上同调理论（特别是 $K(n)$-理论）中 Eilenberg-Moore 族谱序列的收敛性问题。
• 识别出 EMSS 收敛的精确同伦条件，尤其是在经典收敛性失效的情况下。
• 在 $p$-局部有限 Postnikov 系统的背景下，为基于 $K(n)$ 的 EMSS 建立一个稳健的 ind-收敛框架。
• 阐明族谱序列的目标与纤维实际 $K(n)$-同调之间的关系，特别是在非连通情形下。

提出的方法

• 利用基空间 $B$ 上的双侧 cobar 构造，构建 $K(n)$-模谱的塔 $T^\bullet(E_1,E_2)$。
• 将 EMSS 视为以 $E_1$ 和 $E_2$ 的有限子 CW 复形为指标的定向系统族谱序列，从而实现 ind-收敛性分析。
• 应用 ind-收敛的概念，即比较映射 $K(n)_*F \to \pi_*T^\bullet$ 在 ind-pro-阿贝尔群范畴中为同构。
• 利用 Ravenel-Wilson 对 $K_*(\underline{H}_*)$ 的计算，识别 $E^\infty$-页，并将其与族谱序列的目标相匹配。
• 通过使用余对偶的 Steenrod 代数和 $p$-进制数字分解，分析 $K(n)$-同调类的结构及其持久性。
• 通过比较 $E^\infty$-页并验证每个总度数下谱序列在有限滤过下稳定，从而确立收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，基于 $K(n)$ 的 Eilenberg-Moore 族谱序列对非连通广义上同调理论收敛？
• RQ2 为何在某些情况下，即使基空间单连通，EMSS 仍会发散？阻止收敛的同伦障碍是什么？
• RQ3 能否通过在基空间上施加有限性与 $p$-局部性条件，使非连通情形下的收敛性得以恢复？
• RQ4 纤维的 $K(n)$-同调结构与 EMSS 的 $E^\infty$-页之间有何关系？
• RQ5 基于 $K(n)$ 的 EMSS 中收敛性的精确性质（如：pro-常数、ind-收敛）是什么？它与经典收敛性有何不同？

主要发现

• 当基空间 $B$ 为 $p$-局部有限 Postnikov 系统且 $\pi_{n+1}(B) = 0$ 时，基于 $K(n)$ 的 EMSS 以 ind-一致方式收敛于 $K(n)_*F$。
• 对于有限 CW 复形 $E_1$ 和 $E_2$，谱序列以 pro-常数方式收敛，意味着 $K(n)_*F$ 是有限的 $K(n)_*$-模。
• EMSS 的 $E^\infty$-页与纤维 $F$ 的 $K(n)$-同调同构，经由与 Ravenel-Wilson 对 $K_*(\underline{H}_*)$ 的计算比较得以确认。
• 当 $\pi_{n+1}(B) \neq 0$ 时，谱序列发散，路径-环纤维丛在 $K(\mathbb{Z}/2,2)$ 上的反例已证明此点。
• 对于谱序列 $\operatorname{Cotor}^{K(n)_*(\widetilde{\underline{H}}_t)}_{**}(K(n)_*,K(n)_*)\Rightarrow K(n)_*(\underline{H}_{t-1})$，当 $t \neq n+1$ 时，EMSS 以 $2p^n$-常数方式收敛，但当 $t = n+1$ 时则不然。
• 从 $K(n)_*F$ 到塔 $T^\bullet$ 的逆极限的比较映射在 ind-pro 范畴中为同构，从而确认了 ind-收敛性。