[论文解读] Convergence of the Zipper algorithm for conformal mapping

Donald E. Marshall, Steffen Rohde|ArXiv.org|May 18, 2006

Analytic and geometric function theory参考文献 10被引用 20

一句话总结

本文证明了Zipper算法在共形映射中的收敛性，表明当应用于若尔当区域时，该算法能产生与真实共形映射及其逆映射一致接近的逼近。文中基于数据点间距和边界光滑性建立了定量误差界，显示对于圆盘链，收敛率为$\epsilon^p$（$p < 1/2$）；对于$K$-拟圆，收敛率$p$接近1。

ABSTRACT

In the early 1980's an elementary algorithm for computing conformal maps was discovered by R. Kühnau and the first author. The algorithm is fast and accurate, but convergence was not known. Given points z_0,...,z_n in the plane, the algorithm computes an explicit conformal map of the unit disk onto a region bounded by a Jordan curve γwith z_0,...,z_n \in γ. We prove convergence for Jordan regions in the sense of uniformly close boundaries, and give corresponding uniform estimates on the closed region and the closed disc for the mapping functions and their inverses. Improved estimates are obtained if the data points lie on a C^1 curve or a K-quasicircle. The algorithm was discovered as an approximate method for conformal welding, however it can also be viewed as a discretization of the Löwner differential equation.

研究动机与目标

• 建立Zipper算法在边界一致接近意义下的共形映射收敛性。
• 在闭单位圆盘和闭若尔当区域上，提供共形映射及其逆映射收敛性的统一估计。
• 将收敛结果推广至更光滑的边界，包括$C^1$曲线和$K$-拟圆，并获得改进的误差估计。
• 证明该算法是Loewner微分方程的有效离散化形式，也是共形拼接问题的数值解。
• 为该算法的数值成功提供理论基础，此前其有效性仅通过经验观察而未被证明。

提出的方法

• 该算法通过在割线半平面上复合初等映射来构造共形映射，利用双曲测地线定义割线。
• 采用线性分式变换、平方和平方根映射来生成基本共形映射及其逆映射。
• 收敛性证明依赖于Jørgensen定理，该定理保证了单连通域中圆的双曲凸性。
• 通过引理3.5和3.6采用“自我改进”技术，迭代地优化逼近精度和边界接近度。
• 在数值求逆时，于四平面区域应用牛顿法，实现二次收敛。
• 将该算法解释为Loewner微分方程的离散化形式，从而将其与连续共形映射理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在边界数据由离散点给出的若尔当区域上应用Zipper算法时，其是否收敛于真实的共形映射？
• RQ2 在边界数据点间距为$\epsilon$的条件下，该算法的收敛速率如何？
• RQ3 边界光滑性特征（如$C^1$或$K$-拟圆）如何影响收敛速率与误差界？
• RQ4 该算法能否同时以一致精度计算共形映射及其逆映射？
• RQ5 计算边界与真实边界之间的Hausdorff距离与共形映射之间的一致距离之间有何关系？

主要发现

• 当边界位于半径$\leq \epsilon$的互不相交圆盘链中，且数据点位于接触点时，真实边界$\partial\Omega$与计算边界$\partial\Omega_c$之间的Hausdorff距离至多为$\epsilon$。
• 对于$K$接近1的$K$-拟圆，且数据点间距为$\epsilon$时，Hausdorff距离有界于$\epsilon$，共形映射的收敛率为$\epsilon^p$，其中$p$接近1。
• 共形映射$\varphi$与$\varphi_c$之间的一致距离满足$\sup_{\Omega \cap \Omega_c} |\varphi - \varphi_c| \leq C\epsilon^p$，在圆盘链情形下，任意$p < 1/2$均成立。
• 对于$C^1$边界，该算法生成的计算区域$\Omega_c$具有$C^1$光滑性，且其边界与单位切向量均与真实值一致接近。
• 逆映射也一致收敛，且在拟圆情形下，有$\sup_D |\varphi^{-1} - \varphi_c^{-1}| \leq C\epsilon^p$，其中$p$接近1。
• 当在平面中适当划分的区域应用牛顿法时，该算法对逆映射实现了二次收敛。