[论文解读] Convergence of weak Kähler-Ricci Flows on minimal models of positive Kodaira dimension

Philippe Eyssidieux, Vincent Guedj+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过退化抛物复 Monge-Ampère 方程的粘性解方法，建立了具有终端奇点的正 Kodaira 维数极小模型上归一化弱 Kähler-Ricci 流的收敛性。证明了该流在容量意义下收敛于一个典范当前 $ T_{\text{can}} $，通过 Iitaka 纤维化底空间上的典范扭 Kähler-Einstein 度量，将 Song-Tian 的结果推广至奇异代数簇。

ABSTRACT

Studying the behavior of the Kähler-Ricci flow on mildly singular varieties, one is naturally lead to study weak solutions of degenerate parabolic complex Monge-Ampère equations. In this article, the third of a series on this subject, we study the long term behavior of the normalized Kähler-Ricci flow on mildly singular varieties of positive Kodaira dimension, generalizing results of Song and Tian who dealt with smooth minimal models.

研究动机与目标

• 将 Song-Tian 在光滑极小模型上关于归一化 Kähler-Ricci 流的收敛结果推广至具有终端奇点的奇异代数簇。
• 在具有半正则 canonical 线丛的 klt 对 $ (X,\Delta) $ 上，证明 Iitaka 纤维化底空间 $ J $ 上存在一个典范扭 Kähler-Einstein 度量 $ \theta_{\text{can}} $。
• 证明归一化 Kähler-Ricci 流在容量意义下收敛于极小模型上正 Kodaira 维数的拉回当前 $ T_{\text{can}} = j^*\theta_{\text{can}} $。
• 为退化抛物复 Monge-Ampère 方程（在流中出现）发展一种粘性解方法，避免先前工作中使用的正则化技术。

提出的方法

• 采用抛物型粘性方法分析建模 Kähler-Ricci 流的退化抛物复 Monge-Ampère 方程的弱解。
• 通过涉及 $ \varphi_\infty $、$ \rho $、$ \log|s|_h $ 和一个与时间相关的常微分方程 $ g(t) $ 的扰动势，构造一个上解 $ v_\varepsilon $。
• 利用 Păun 的拉普拉斯估计与 Kawamata 的典范丛公式，建立典范度量 $ \theta_{\text{can}} $ 在 $ J $ 上的通用光滑性。
• 将收敛性问题约化为半平坦当前 $ \omega_{\text{SF}} $ 的正则性陈述，其在 Iitaka 纤维化的纤维上定义为 $ \omega_0 + dd^c\rho $。
• 应用比较原理与 $ L^1 $-紧致性，证明流势函数 $ \varphi_t $ 的任意极限等于极限势函数 $ \varphi_\infty $，从而推出在容量意义下的收敛性。
• 利用一致有界性与粘性上解构造，控制流在 $ ]T_0, \infty[ \times \Omega_r $ 上的长时间行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 归一化 Kähler-Ricci 流是否在具有终端奇点的正 Kodaira 维数极小模型上收敛于一个典范当前？
• RQ2 Song-Tian 的典范体积形式与扭 Kähler-Einstein 度量能否推广至具有半正则 canonical 线丛的 klt 对？
• RQ3 流对 $ T_{\text{can}} $ 的收敛性在奇点下是否稳定？其是否在容量意义下成立而非仅逐点成立？
• RQ4 粘性解方法能否替代奇异代数簇上弱 Kähler-Ricci 流研究中的正则化技术？
• RQ5 对于奇异极小模型，Iitaka 纤维化底空间上的典范度量 $ \theta_{\text{can}} $ 的正则性如何？

主要发现

• 在具有终端奇点的正 Kodaira 维数极小模型上，归一化 Kähler-Ricci 流在容量意义下收敛于典范当前 $ T_{\text{can}} = j^*\theta_{\text{can}} $。
• 在 Iitaka 纤维化底空间 $ J $ 上存在一个典范扭 Kähler-Einstein 度量 $ \theta_{\text{can}} $，其势函数连续，当 $ X $ 为射影代数簇时，在 Zariski 开子集上光滑。
• 典范度量 $ \theta_{\text{can}} $ 通过粘性方法与 Păun 的拉普拉斯估计构造，依赖于 Kawamata 的典范丛公式。
• 流势函数 $ \varphi_t $ 在 $ X \setminus D $ 上局部一致收敛于 $ \varphi_\infty $，在 $ X $ 上按容量收敛，当 $ t \to \infty $ 时。
• 收敛性通过一个涉及 $ v_\varepsilon(t,x) = [1+\varepsilon A]\varphi_\infty(x) + e^{-t}\rho(x) - \varepsilon\log|s|_h(x) + Ce^{-t} + g(t) $ 的粘性上解构造建立，其中 $ g(t) $ 满足特定常微分方程。
• 关键估计 $ \limsup_{t\to\infty} \varphi(t,x) \leq \varphi_\infty(x) $ 对所有 $ x \in X^{\text{reg}} \setminus D $ 成立，且由密度性与比较原理，有 $ \varphi_t \to \varphi_\infty $ 在容量意义下。