[论文解读] Convergence order of upwind type schemes for transport equations with discontinuous coefficients
本文分析了具有不连续、单边Lipschitz连续系数的线性输运方程的迎风型有限体积格式的收敛阶。在Wasserstein距离$W_p$下建立了$1/2$的收敛速率，并在给定条件下证明了其最优性，还将结果推广至其他一阶格式，包括前向半拉格朗日方法。
An analysis of the error of the upwind scheme for transport equation with discontinuous coefficients is provided. We consider here a velocity field that is bounded and one-sided Lipschitz continuous. In this framework, solutions are defined in the sense of measures along the lines of Poupaud and Rascle's work. We study the convergence order of the upwind scheme in the Wasserstein distances. More precisely, we prove that in this setting the convergence order is 1/2. We also show the optimality of this result. In the appendix, we show that this result also applies to other "diffusive" "first order" schemes and to a forward semi-Lagrangian scheme.
研究动机与目标
- 分析具有不连续系数的迎风型格式在线性输运方程中的误差收敛性。
- 在速度场满足单边Lipschitz连续性条件下，建立以测度值解形式定义的解在Wasserstein距离中的收敛阶。
- 证明在此设定下$1/2$收敛阶的最优性。
- 将收敛结果推广至其他一阶守恒格式，包括前向半拉格朗日格式。
提出的方法
- 在测度值解的框架下，利用Filippov流和Poupaud-Rascle的解的概念进行分析。
- 在Wasserstein距离$W_p$中研究收敛性，利用速度场满足单边Lipschitz（OSL）条件下的稳定性与误差估计。
- 关键技术工具是采用[11]中提出的随机特征构造方法，以控制格式数值解的误差。
- 证明依赖于对迎风格式中转移概率$\lambda^{n}_{i,j}$的有界性估计，以控制质量传递误差。
- 使用$L^1$范数、BV半范数与$W_1$距离之间的插值不等式，将总变差误差与Wasserstein误差关联起来。
- 通过守恒的一阶离散化统一框架，将结果推广至其他格式。
实验结果
研究问题
- RQ1对于具有不连续、单边Lipschitz连续系数的输运方程，迎风格式的收敛阶是多少？
- RQ2当解为测度值时，是否可以在Wasserstein距离下量化收敛阶？
- RQ3在OSL条件下，$1/2$收敛阶是否最优？
- RQ4收敛结果是否可推广至其他一阶守恒格式，如前向半拉格朗日格式？
主要发现
- 在速度场满足OSL条件时，迎风格式在Wasserstein距离$W_p$（$p \geq 1$）下以$1/2$阶收敛。
- 通过构造一个反例证明了$1/2$收敛速率的最优性，即在该设定下不可能存在更快的收敛速率。
- 误差界形式为$W_p(\rho(t^n), \rho_{\Delta x}^n) \leq C e^{2\int_0^{t^n} \alpha(s)ds} (\sqrt{t^n \Delta x} + \Delta x)$，其中$C$与$\Delta x$无关。
- 在类似假设下，该结果可推广至其他守恒的一阶格式，包括前向半拉格朗日格式。
- 该分析适用于初始数据为具有有限$p$阶矩的概率测度的情形，确保在Wasserstein空间中的可积性。
- 证明依赖于一种新颖的插值不等式，将$L^1$范数、BV半范数与$W_1$距离联系起来，该不等式在控制误差中起关键作用。
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