[论文解读] Convergence Properties of Adaptive Systems and the Definition of Exponential Stability

Benjamin Jenkins, Anuradha M. Annaswamy+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Adaptive Control of Nonlinear Systems被引用 6

一句话总结

本文澄清了自适应系统中全局一致渐近稳定（UASL）与全局指数稳定（ESL）之间的区别，表明参考输入的持久激励仅能保证回归向量的弱持久激励，从而导致UASL但非ESL。本文证明了在开环与闭环参考模型自适应系统中均存在收敛速度缓慢的区域，且收敛速度随初始条件增大而降低，从而否定了基于参考输入丰富性的全局指数稳定性的声称。

ABSTRACT

The convergence properties of adaptive systems in terms of excitation conditions on the regressor vector are well known. With persistent excitation of the regressor vector in model reference adaptive control the state error and the adaptation error are globally exponentially stable, or equivalently, exponentially stable in the large. When the excitation condition however is imposed on the reference input or the reference model state it is often incorrectly concluded that the persistent excitation in those signals also implies exponential stability in the large. The definition of persistent excitation is revisited so as to address some possible confusion in the adaptive control literature. It is then shown that persistent excitation of the reference model only implies local persistent excitation (weak persistent excitation). Weak persistent excitation of the regressor is still sufficient for uniform asymptotic stability in the large, but not exponential stability in the large. We show that there exists an infinite region in the state-space of adaptive systems where the state rate is bounded. This infinite region with finite rate of convergence is shown to exist not only in classic open-loop reference model adaptive systems, but also in a new class of closed-loop reference model adaptive systems.

研究动机与目标

• 澄清自适应控制文献中关于在对参考输入施加持久激励时，全局一致渐近稳定（UASL）与全局指数稳定（ESL）等价性的混淆问题。
• 定义并分析‘弱持久激励’作为由参考输入丰富性引发的、依赖于初始条件的回归向量属性。
• 证明即使参考输入丰富，自适应系统也无法实现全局指数稳定，原因在于收敛速率不一致。
• 表明在状态空间中存在一个无限区域，其误差收敛速度可任意缓慢，从而削弱了基于指数稳定性的鲁棒性声称。
• 将上述发现扩展至一类新型基于闭环参考模型（CRM）的自适应系统，确认其与开环系统具有类似的收敛行为。

提出的方法

• 重新审视持久激励的定义，以区分强（由回归向量驱动）与弱（由参考输入驱动）的激励条件。
• 在不同激励假设下分析模型参考自适应控制系统中的误差动态，特别关注回归向量的激励水平。
• 推导出当参考输入持久激励时，回归向量呈现弱持久激励的条件，表明这不足以实现指数稳定。
• 使用相轨迹图与开环（ORM）和闭环（CRM）参考模型自适应系统的时序仿真，可视化收敛行为。
• 量化不同初始条件下系统的调节时间 $T_s$，以证明收敛速度随初始误差范数增大而降低，表明收敛非指数性。
• 比较ORM与CRM系统的瞬态性能，表明尽管CRM系统减少了振荡，但对大初始误差的收敛速度并未提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 参考输入的持久激励是否意味着自适应系统具有全局指数稳定性？
• RQ2 参考输入丰富性与内部回归向量的持久激励水平之间存在何种关系？
• RQ3 能否在不具有全局指数稳定性的前提下实现全局一致渐近稳定，这对鲁棒性有何影响？
• RQ4 是否存在状态空间中收敛速度可任意缓慢的区域？该区域是否同时存在于开环与闭环参考模型自适应系统中？
• RQ5 闭环参考模型中反馈增益 $\ell$ 的选择如何影响收敛速度与瞬态行为，相较于开环系统有何差异？

主要发现

• 参考输入的持久激励导致回归向量的弱持久激励，该性质依赖于初始条件，且不足以实现全局指数稳定。
• 由于收敛速率不一致，自适应系统的误差动态表现出全局一致渐近稳定（UASL），但不具备全局指数稳定（ESL）。
• 在状态空间中存在一个无限区域，其误差速度范数有界，导致大初始条件下收敛速度可任意缓慢。
• 对于初始条件 $z_4$、$z_5$ 和 $z_6$，ORM系统中的调节时间 $T_s$ 范围为5.37至8.19秒，CRM系统中为3.69至12.74秒，且初始误差越大，$T_s$ 越长。
• 尽管CRM系统振荡减少，但对相同初始条件 $z_6$ 的收敛速度仍慢于ORM系统，表明平滑性与速度之间存在权衡。
• 在提高反馈增益 $\ell$ 的同时增加自适应增益 $\gamma$，可使CRM系统的调节时间与ORM系统相当，同时保持其振荡减少的优势。