[论文解读] Convergence rate and acceleration of Clenshaw-Curtis quadrature for functions with endpoint singularities

Haiyong Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2014

Mathematical functions and polynomials参考文献 18被引用 3

一句话总结

本论文证明了对于在 $X^s$ 中具有端点奇点的函数，Clenshaw-Curtis 求积法的收敛率为 $\mathcal{O}(n^{-s-2})$，优于以往估计的一阶 $n$ 提升。论文推导出一个渐近误差展开式，使得 Richardson 外推法可进一步加速收敛，尤其因节点嵌套结构和 FFT 高效权重计算而具有显著优势。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the rate of convergence of Clenshaw-Curtis quadrature and its acceleration for functions with endpoint singularities in X^s, where X^s denotes the space of functions whose Chebyshev coefficients decay asymptotically as a_k = O(k^{-s-1}) for some positive s. For such unctions, we show that the convergence rate of (n + 1)-point Clenshaw-Curtis quadrature is O(n^{-s-2}). Furthermore, an asymptotic error expansion for Clenshaw-Curtis quadrature is presented which enables us to employ some extrapolation techniques to accelerate its convergence. Numerical examples are provided to confirm our analysis.

研究动机与目标

• 研究具有代数或代数对数型端点奇点的被积函数下 Clenshaw-Curtis 求积法的收敛速率。
• 填补在 $X^s$ 中具有此类奇点的函数收敛率估计的空白，特别是当标准界失效时。
• 推导渐近误差展开式，以实现通过外推技术加速收敛。
• 证明由于节点嵌套结构和 FFT 可计算的权重，Clenshaw-Curtis 求积法在处理奇点被积函数时优于 Gauss-Legendre 求积法。

提出的方法

• 将 $X^s$ 定义为满足其切比雪夫系数衰减为 $a_k = \mathcal{O}(k^{-s-1})$ 的函数空间，将光滑性与衰减率关联。
• 分析 $(n+1)$-点 Clenshaw-Curtis 求积法对 $f(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta g(x)$ 的收敛速率，其中 $\alpha, \beta \geq 0$ 不全为整数，且 $g \in C^\infty[-1,1]$。
• 为偶数 $n$ 推导出负幂次 $n$ 的渐近误差展开式，适用于代数奇点和代数对数奇点。
• 利用推导出的渐近展开式对求积结果应用 Richardson 外推法，得到收敛速率 $\mathcal{O}(n^{-d_q - 1})$ 的加速效果。
• 使用逆 FFT 高效地在 $\mathcal{O}(n\log n)$ 次操作内计算 Clenshaw-Curtis 权重。
• 通过具有已知奇点的测试函数进行数值验证，并与 Gauss-Legendre 求积法进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在 $X^s$ 中具有端点奇点的函数，Clenshaw-Curtis 求积法的最优收敛速率是多少？
• RQ2 与光滑函数相比，代数或代数对数奇点的存在如何影响收敛速率？
• RQ3 能否为 Clenshaw-Curtis 求积法推导出一个渐近误差展开式，以实现有效的收敛加速？
• RQ4 当应用于具有奇点的被积函数时，Richardson 外推法在多大程度上提升了 Clenshaw-Curtis 求积法的收敛速率？
• RQ5 在考虑节点嵌套性和计算效率的前提下，Clenshaw-Curtis 求积法与 Gauss-Legendre 求积法在处理奇点被积函数时的收敛行为有何不同？

主要发现

• 对于在 $X^s$ 中具有端点奇点的函数，$(n+1)$-点 Clenshaw-Curtis 求积法的收敛速率为 $\mathcal{O}(n^{-s-2})$，优于以往的 $\mathcal{O}(n^{-s-1})$ 估计。
• 对于具有代数对数奇点 $f(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta \log(1-x) g(x)$ 的函数，其中 $\alpha$ 为正整数，若 $f \in X^s$，则收敛速率仍为 $\mathcal{O}(n^{-s-2})$。
• 为偶数 $n$ 推导出负幂次 $n$ 的渐近误差展开式，使得可应用外推技术（如 Richardson 外推法）。
• Richardson 外推方案 $R(q,n)$ 的收敛速率为 $\mathcal{O}(n^{-d_q - 1})$，其中 $d_q$ 取决于奇点强度，并在不同情况下显式确定。
• 数值示例表明，Clenshaw-Curtis 求积法的收敛速率与理论估计 $\mathcal{O}(n^{-s-2})$ 一致，适用于各种 $\alpha$、$\beta$ 和 $s$ 取值。
• 尽管渐近收敛速率相似，但由于节点嵌套结构和基于 FFT 的权重计算效率，Clenshaw-Curtis 求积法在处理奇点被积函数时比 Gauss-Legendre 求积法更具优势。