[论文解读] Convergence rate for a Radau collocation method applied to unconstrained optimal control
该论文为无约束最优控制问题中应用的Radau配点法建立了指数收敛速率。通过使用以一个端点为配点的Radau积分点，该方法在光滑性和强凸性条件下实现了谱收敛——即在配点数上呈指数收敛，其收敛速率与基于Gauss的配点法相当，尽管离散格式在结构上存在差异。
A local convergence rate is established for an orthogonal collocation method based on Radau quadrature applied to an unconstrained optimal control problem. If the continuous problem has a sufficiently smooth solution and the Hamiltonian satisfies a strong convexity condition, then the discrete problem possesses a local minimizer in a neighborhood of the continuous solution, and as the number of collocation points increases, the discrete solution convergences exponentially fast in the sup-norm to the continuous solution. An earlier paper analyzes an orthogonal collocation method based on Gauss quadrature, where neither end point of the problem domain is a collocation point. For the Radau quadrature scheme, one end point is a collocation point.
研究动机与目标
- 建立无约束最优控制问题中Radau配点法的局部收敛速率。
- 分析随着配点数增加，离散解趋近连续解的收敛行为。
- 证明尽管配点分布和多项式结构存在差异，Radau格式仍能实现与基于Gauss的配点法相同的指数收敛速率。
- 为在 hp-离散化框架中使用Radau配点法提供理论依据，因其在终端约束实现方面具有优势。
提出的方法
- 该方法基于Radau积分点进行正交配点，其中一个端点（t=+1）被用作配点。
- 离散最优控制问题被表述为在N个点上满足配点动力学和初始条件的前提下最小化一个性能指标。
- 状态和控制变量通过次数不超过N的多项式近似，动力学在Radau点 τ₁ < … < τ_N = +1 处强制执行。
- 推导了离散伴随系统，并分析了微分矩阵 D^‡ 的结构，以确保其可逆性和稳定性。
- 理论分析依赖于Lagrange插值和正交配点的性质，包括对微分矩阵逆的有界性分析。
- 收敛性证明利用了哈密顿量的强凸性以及解的光滑性，以建立在上确范数下的指数衰减。
实验结果
研究问题
- RQ1在标准光滑性和凸性假设下，Radau配点法是否对无约束最优控制问题实现指数收敛？
- RQ2尽管配点分布结构存在差异，Radau格式的收敛速率与Gauss配点法相比如何？
- RQ3终端配点在Radau格式中起什么作用？它如何影响条件数和终端约束的实现？
- RQ4随着配点数增加，能否证明离散解在上确范数下局部收敛于连续解？
- RQ5微分矩阵 D^‡ 的逆的界是什么？它们如何影响方法的稳定性和收敛性？
主要发现
- 随着配点数N的增加，离散解在上确范数下以指数速度收敛于连续解。
- 在假设连续解具有η+1阶连续导数且η ≥ 3的条件下，上确范数下的误差被限制在 O(N^{2−η}) 以内。
- 尽管Radau格式具有非对称结构且在终端边界设有配点，其收敛速率仍与Gauss配点法一致。
- 微分矩阵 D^‡ 的逆被显式推导，其元素以Lagrange基函数和积分权重表示。
- 数值实验验证了观测到的收敛速率呈指数性，与理论预测一致。
- D^‡⁻¹ 和 D^‡⁻¹W⁻¹/² 的行范数有界，并随着N增加分别趋近于2和√2，表明方法具有数值稳定性。
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