[论文解读] Convergence Rate for Spectral Distribution of Addition of Random Matrices

Zhigang Bao, László Erdős+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文为随机矩阵和 $ H = A + UBU^* $ 的谱分布建立了最优收敛速率 $ N^{-1+\gamma} $，其中 $ A $ 和 $ B $ 为确定性厄米特矩阵，$ U $ 为哈亚尔分布的酉矩阵。通过引入一种通过特殊构造的辅助量 $ Z_i $ 实现的新型波动平均机制，作者在谱的体积极限内实现了该速率，与典型特征值间距的对数因子内一致。

ABSTRACT

Let $A$ and $B$ be two $N$ by $N$ deterministic Hermitian matrices and let $U$ be an $N$ by $N$ Haar distributed unitary matrix. It is well known that the spectral distribution of the sum $H=A+UBU^*$ converges weakly to the free additive convolution of the spectral distributions of $A$ and $B$, as $N$ tends to infinity. We establish the optimal convergence rate ${\frac{1}{N}}$ in the bulk of the spectrum.

研究动机与目标

• 在谱的体积极限内，建立随机矩阵和 $ H = A + UBU^* $ 的谱分布向自由加法卷积 $ \mu_A \boxplus \mu_B $ 的最优收敛速率。
• 克服哈亚尔酉矩阵中元素间缺乏独立性的问题，该问题使标准波动平均技术变得复杂。
• 开发一种新的波动平均方法，通过基于分部积分的递归矩估计，避免复杂的高阶矩展开。
• 证明格林函数的归一化迹 $ \frac{1}{N}\mathrm{Tr}\,G $ 的波动幅度最多为 $ N^{-1+\gamma} $，从而表明收敛速率是最优的。
• 证明经验谱测度 $ \mu_H $ 的集中速率可达 $ N^{-1} $，与特征值间距尺度一致。

提出的方法

• 引入辅助量 $ Z_i $，即 $ G_{ii} $ 与 $ (UBU^*G)_{ii} $ 的线性组合，以利用 $ N^{-1/2} $ 尺度波动的代数抵消。
• 定义校正项 $ \Upsilon $ 以吸收残余的 $ N^{-1/2} $ 尺度波动，证明其实际阶为 $ N^{-1+\gamma} $，而非 $ N^{-1/2} $。
• 采用基于高斯变量的分部积分的递归矩估计技术，避免复杂的高阶矩展开。
• 利用哈亚尔酉矩阵的部分随机分解，控制格林函数元素中的依赖结构。
• 应用赫尔弗-舍斯特兰德函数演算，从格林函数迹估计推导谱测度的收敛速率。
• 在体积极限区域 $ z \in \mathcal{S}_\mathcal{I}(a,b) $ 内工作，以 $ N^{-1+\gamma} $ 尺度的局部定律为基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 在谱的体积极限内，随机矩阵和 $ H = A + UBU^* $ 的经验谱分布向自由加法卷积 $ \mu_A \boxplus \mu_B $ 的最优收敛速率是什么？
• RQ2 在哈亚尔酉矩阵中元素间缺乏独立性的情况下，如何实现波动平均？
• RQ3 能否将收敛速率提升至 $ N^{-2/3} $ 以上？若能，需要何种新方法？
• RQ4 经验谱测度 $ \mu_H $ 围绕其期望的集中速率是多少？
• RQ5 格林函数迹 $ \frac{1}{N}\mathrm{Tr}\,G $ 的行为如何与 $ \mu_H $ 的收敛性相关？

主要发现

• 在体积极限内，随机矩阵和 $ H = A + UBU^* $ 的谱分布向 $ \mu_A \boxplus \mu_B $ 的收敛速率为 $ N^{-1+\gamma} $，对任意 $ \gamma > 0 $ 成立，该速率在 $ N^\gamma $ 因子内为最优。
• 格林函数归一化迹 $ \frac{1}{N}\mathrm{Tr}\,G $ 的波动幅度最多为 $ N^{-1+\gamma} $，与最优尺度一致。
• 通过新型辅助量 $ Z_i $ 实现了波动平均机制，其通过代数结构成功抵消了 $ N^{-1/2} $ 尺度的波动。
• 为吸收残余波动而引入的校正项 $ \Upsilon $ 虽然其直观大小为 $ N^{-1/2} $，但被证明实际阶为 $ N^{-1+\gamma} $。
• $ \mu_H $ 围绕其期望的集中速率为 $ N^{-1} $，在体积极限内为最优。
• 该结果对所有 $ z \in \mathcal{S}_\mathcal{I}(a,b) $ 一致成立，且收敛速率是精确的，因为其与典型特征值间距 $ N^{-1} $ 相匹配。