[论文解读] Convergence rate of EM algorithm for SDEs under integrability condition

Jianhai Bao, Xing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 7

一句话总结

该论文在漂移项满足可积性条件但无需分段利普希茨连续性的情况下，建立了多维随机微分方程（SDEs）伊藤-马尔可夫（EM）算法的收敛速率。通过利用高斯热核估计、克里洛夫（Krylov）与哈什明斯基（Khasminskii）估计以及兹冯金（Zvonkin）变换，作者推导出近似误差的 $ \beta $-阶矩收敛速率为 $ \delta^{\frac{\beta}{2}(1 \land \frac{\alpha}{2})} $，将先前结果推广至更具奇异性的漂移项。

ABSTRACT

In this paper, by employing Gaussian type estimate of heat kernel, we establish Krylov's estimate and Khasminskill's estimate for EM algorithm. As applications, by taking Zvonkin's transformation into account, we investigate convergence rate of EM algorithm for a class of multidimensional SDEs under integrability conditions, where the drifts need not to be piecewise Lipschitz and are much more singular in some sense.

研究动机与目标

• 研究当漂移项不一定是分段利普希茨连续时，多维SDEs的伊藤-马尔可夫（EM）格式的收敛速率。
• 在漂移项的正则性假设更弱的条件下扩展现有收敛结果，特别是通过条件（A2）允许对漂移项施加可积性与赫尔德型控制。
• 在先前工作中所需的单边利普希茨条件被移除的同时，将[28]中的结果推广至多维情形，同时将[29]中的一维结果推广至多维情况。
• 在漂移项的假设尽可能弱的前提下，利用Zvonkin变换与热核估计等高级概率工具，建立EM格式的矩收敛速率。

提出的方法

• 利用高斯型热核估计，推导EM格式的克里洛夫与哈什明斯基估计。
• 应用Zvonkin变换对SDE进行正则化，在可积性条件下控制漂移项的不规则性。
• 引入条件（A2），该条件以局部 $ L^p $-范数意义下控制漂移项的赫尔德型振荡，从而实现无需分段利普希茨连续性的分析。
• 通过泰勒展开与转移密度估计，控制真实与近似EM过程转移密度之间的差异。
• 利用希尔伯特-施密特范数估计与指数矩控制，推导密度展开中三阶梯度项的界。
• 综合所有估计，导出EM近似误差的 $ \beta $-阶矩的矩界，最终获得收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移项非分段利普希茨连续时，多维SDEs的伊藤-马尔可夫格式的收敛速率是多少？
• RQ2 是否可以在弱于单边利普希茨连续性的条件下建立收敛速率，特别是针对可积且奇异的漂移项？
• RQ3 Zvonkin变换在漂移项缺乏正则性时如何促进EM收敛性的分析？
• RQ4 热核估计以及克里洛夫与哈什明斯基估计在可积性条件下对EM格式误差的控制中起什么作用？
• RQ5 收敛速率能否以漂移项的赫尔德指数 $ \alpha $ 与可积性指标 $ p $ 的形式进行量化？

主要发现

• 在条件（A1）–（A3）下，EM格式在 $ \beta \in (0,2) $ 时，其 $ \beta $-阶矩收敛速率为 $ \delta^{\frac{\beta}{2}(1 \land \frac{\alpha}{2})} $。
• 收敛速率依赖于漂移项的赫尔德正则性 $ \alpha $，当 $ \alpha \geq 2 $ 时速率提升，而当 $ \alpha < 2 $ 时退化为 $ \delta^{\beta/2} $。
• 界依赖于 $ |b|^2 $ 的 $ L^p $-范数，且包含一个涉及 $ \|b\|_{L^p}^{\gamma_0} $ 的指数因子，其中 $ \gamma_0 = \frac{1}{1 - 1/q - d/2p} $。
• 该方法避免了[28]中使用的单边利普希茨条件，并将[29]中的一维结果推广至具有非光滑漂移项的多维SDEs。
• 分析依赖于EM过程转移密度的精确估计，包括一阶与二阶梯度项的界，以及三阶扰动项的控制。
• 最终误差界通过将密度差分解为三个部分实现，每一部分均利用热核性质与矩阵范数估计进行控制。