[论文解读] Convergence rate of stability problems of SDEs with (dis-)continuous coefficients

Hashimoto Hashimoto, Takahiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文为满足Nakao-Le Gall条件的、具有（不）连续扩散系数的一维随机微分方程（SDEs）的稳定性建立了显式的收敛速率。通过Yamada-Watanabe方法，推导出在系数以速率 $ n^{-1} $ 于 $ L^1 $ 范数下收敛的条件下，$ L^1 $-误差的阶为 $ ( ext{log} hinspace n)^{-1/2} $，$ L^p $-上确界误差的阶为 $ ( ext{log} hinspace n)^{-p/(4(p+1))} $，且这些结果在漂移项移除下保持不变。

ABSTRACT

We consider the stability problems of one dimensional SDEs when the diffusion coefficients satisfy the so called Nakao-Le Gall condition. The explicit rate of convergence of the stability problems are given by the Yamada-Watanabe method without the drifts. We also discuss the convergence rate for the SDEs driven by the symmetric $α$ stable process. These stability rate problems are extended to the case where the drift coefficients are bounded and in $L^1$. It is shown that the convergence rate is invariant under the removal of drift method for the SDEs driven by the Wiener process.

研究动机与目标

• 分析满足Nakao-Le Gall条件的（不）连续扩散系数SDE解的收敛速率。
• 将稳定性结果扩展至由对称 $ \alpha $-稳定过程驱动的SDEs，其中 $ \alpha \in (1,2) $。
• 研究有界 $ L^1 $ 漂移系数对收敛速率的影响，并证明在漂移项移除下收敛速率保持不变。
• 在 $ L^1 $-范数下系数以速率 $ n^{-1} $ 收敛的条件下，提供 $ L^1 $ 与 $ L^p $ 范数下收敛速率的显式定量界。

提出的方法

• 应用Yamada-Watanabe方法，推导满足Nakao-Le Gall条件的扩散系数SDE的路径级估计。
• 使用变换 $ s(x) = \int_0^x \sigma(u)^{-2} du $ 将SDE转化为时变布朗运动框架。
• 利用 $ \sigma_n $ 以速率 $ n^{-1} $ 一致收敛于 $ \sigma $ 的条件，建立尺度函数 $ s_n^{-1} $ 与 $ s^{-1} $ 差异的界。
• 采用变量替换技巧与 $ L^1 $-范数估计，控制尺度函数导数及其复合函数之间的差异。
• 使用序列 $ \{f_l\} $ 的递增函数逼近 $ f $，以处理Nakao-Le Gall条件中的二次变差结构。
• 应用漂移项移除方法，证明对于Wiener驱动SDE，收敛速率在漂移项移除下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足Nakao-Le Gall条件的（不）连续扩散系数SDE解的收敛速率是什么？
• RQ2 当SDE由对称 $ \alpha $-稳定过程而非Wiener过程驱动时，收敛速率如何变化？
• RQ3 当从SDE中移除漂移系数时，收敛速率是否保持不变？
• RQ4 在系数以速率 $ n^{-1} $ 于 $ L^1 $-范数下收敛的条件下，能否推导出显式的 $ L^1 $ 与 $ L^p $ 收敛速率？

主要发现

• 对于漂移项为零且 $ \sigma_n, \sigma \in \mathcal{C}_{NL}(\epsilon, \|f\|_\infty) $ 的SDE，$ L^1 $-误差满足 $ \mathbb{E}[|X(t) - X_n(t)|] \leq C_1 (\text{log} hinspace n)^{-1/2} $，其中 $ 0 \leq t \leq T $。
• 对于 $ p > 1 $，$ L^p $-上确界误差满足 $ \mathbb{E}[\sup_{0 \leq t \leq T} |X(t) - X_n(t)|^p] \leq C_p (\text{log} hinspace n)^{-p/(4(p+1))} $，其中 $ n > 2 $。
• 当漂移项有界且属于 $ L^1 $ 时，对于Wiener驱动SDE，收敛速率在漂移项移除下保持不变。
• 对于由对称 $ \alpha $-稳定过程驱动、且 $ \alpha \in (1,2) $ 的SDE，若系数收敛条件类似，则可建立相同的收敛速率。
• 在 $ L^1 $-收敛条件 $ \int_{\mathbb{R}} |\sigma_n(x) - \sigma(x)| dx \leq C_0 n^{-1} $ 下，收敛速率得以保持。
• 结果可推广至具有有界 $ L^1 $ 漂移项的SDE，其中通过漂移项移除方法可证明，移除漂移后收敛速率保持不变。