[论文解读] Convergence rates for an optimally controlled Ginzburg-Landau equation

Mattias Sandberg|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文通过无限维哈密顿-雅可比方程的粘性解理论，建立了对由吉茨堡-朗道方程控制的最优控制问题，其空间半离散化值函数到真实值函数的二次收敛性。通过辛欧拉法进行时间离散化，在合理的稳定性条件下，实现了与空间分辨率无关的常数的一阶收敛性。

ABSTRACT

An optimal control problem related to the probability of transition between stable states for a thermally driven Ginzburg-Landau equation is considered. The value function for the optimal control problem with a spatial discretization is shown to converge quadratically to the value function for the original problem. This is done by using that the value functions solve similar Hamilton-Jacobi equations, the equation for the original problem being defined on an infinite dimensional Hilbert space. Time discretization is performed using the Symplectic Euler method. Imposing a reasonable condition this method is shown to be convergent of order one in time, with a constant independent of the spatial discretization.

研究动机与目标

• 分析与随机吉茨堡-朗道方程相关的最优控制问题的空间与时间离散化的收敛性。
• 建立空间离散化问题的值函数相对于原始无限维问题的值函数的二次收敛性。
• 通过辛欧拉法实现时间离散化的一阶收敛性，且误差常数与空间离散化无关。
• 基于无限维哈密顿-雅可比方程的粘性解理论，提供严格的误差分析。
• 通过最优控制支持热驱动相变中过渡概率的数值计算。

提出的方法

• 通过最小化包含终态惩罚的代价泛函来制定最优控制问题，其中状态由受控吉茨堡-朗道PDE控制。
• 利用拉普拉斯算子在狄利克雷边界条件下生成的半群定义的温和解。
• 应用无限维哈密顿-雅可比方程的粘性解理论来分析值函数的收敛性。
• 实施空间半离散化，并证明离散值函数相对于连续值函数的二次收敛性。
• 使用辛欧拉法进行时间离散化，并在稳定性条件下建立一阶收敛性。
• 采用压缩映射论证和能量估计，确保在适当函数空间中解的存在性、唯一性和有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间半离散化最优控制问题的值函数向原始无限维问题的值函数收敛的速度有多快？
• RQ2 在本最优控制问题背景下，辛欧拉法的时间离散化收敛速率如何？
• RQ3 能否在无限维空间中利用粘性解理论严格分析受控吉茨堡-朗道方程的值函数？
• RQ4 时间离散化误差是否保持有界，且与空间离散化参数无关？
• RQ5 在何种条件下解能保持在原始势阱内，从而确保控制公式的有效性？

主要发现

• 在上确界范数下，空间离散化值函数相对于真实值函数实现二次收敛。
• 辛欧拉法在时间上实现了一阶收敛，且误差常数与空间离散化参数无关。
• 原始问题的值函数在粘性意义下满足一个无限维哈密顿-雅可比方程，从而支持了收敛性分析。
• 在初始数据属于 $ H_0^1 $ 且控制有界的条件下，受控PDE的温和解在 $ C(t_0, T; H_0^1) $ 中存在且唯一。
• 能量估计和索伯列夫嵌入保证了解在上确界范数下有界，从而允许在不修改的情况下使用原始双势阱势能。
• 空间离散化的误差界由控制解的 $ H^1 $-范数的能量不等式导出，从而在 $ L^rown $-范数下获得一致有界性。