[论文解读] Convergence Rates for Approximations of Functionals of SDEs

Rainer Avikainen|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文建立了对随机微分方程（SDE）解的泛函近似收敛速率的分析，重点关注有界变差函数和指示函数等非Lipschitz函数。证明了若底层SDE解的近似具有强收敛速率 $γ$，则在系数具有有界密度和正则性条件下，泛函 $g(X_T)$ 在 $L_p$-范数下的误差以 $|π|^{γ - \varepsilon}$ 的速率衰减，其中任意 $ε > 0$。对于Euler格式，建立了 $|π|^{1/2}$ 的匹配下界，表明该速率在任意小的 $ε$ 范围内是紧的。结果适用于Euler和Milstein格式，将误差分析扩展至非Lipschitz连续泛函之外。

ABSTRACT

We consider upper bounds for the approximation error E|g(X)-g(\hat X)|^p, where X and \hat X are random variables such that \hat X is an approximation of X in the L_p-norm, and the function g belongs to certain function classes, which contain e.g. functions of bounded variation. We apply the results to the approximations of a solution of a stochastic differential equation at time T by the Euler and Milstein schemes. For the Euler scheme we provide also a lower bound.

研究动机与目标

• 将SDE近似收敛速率分析从Lipschitz连续泛函扩展至有界变差函数和指示函数等非Lipschitz函数。
• 推导当 $\hat{X}_T$ 通过Euler或Milstein格式近似 $X_T$ 时，$\mathbb{E}|g(X_T) - g(\hat{X}_T)|^p$ 的上界。
• 通过反例建立Euler格式的下界，表明收敛速率不可能超过 $|\pi|^{1/2}$，从而说明上界几乎紧致。
• 识别在非Lipschitz $g$ 下收敛速率仍能保持的函数类——如具有尾部分布控制的有界变差函数和跳跃函数。
• 通过精细应用Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gronwall引理，提供收敛估计中的显式常数。

提出的方法

• 使用Burkholder-Davis-Gundy不等式控制真实解 $X_t$ 与近似解 $X_t^\pi$ 之间差值的 $L_p$-范数，特别针对Euler格式。
• 应用Gronwall引理的改进版本以控制近似误差矩的增长，引入对 $p$ 的指数依赖。
• 通过Itô积分表示和漂移与扩散系数的Lipschitz连续性，推导 $X_t - X_s$ 的矩界。
• 引入函数类 $\mathcal{G}_{p,\varphi}$，该类推广了有界变差函数，并允许在 $g$ 的正则性较弱时进行 $L_p$-误差估计。
• 通过基于 $X_T$ 有界密度的截断和尾部估计，将误差 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p$ 分解，从而建立收敛速率。
• 通过几何布朗运动的反例提供下界，表明误差不可能快于 $|\pi|^{1/2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于SDE解的非Lipschitz泛函 $g$，$\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p$ 的收敛速率是多少？
• RQ2 对于非Lipschitz $g$，Euler格式的收敛速率能否优于 $|\pi|^{1/2}$，还是该速率已最优？
• RQ3 Euler和Milstein格式的收敛速率如何依赖于 $g$ 的正则性，特别是当 $g$ 为有界变差函数或具有跳跃时？
• RQ4 哪些函数类可实现 $L_p$-误差界严格优于底层格式的收敛速率？
• RQ5 在SDE系数和终端分布满足何种条件下，$g(X_T)$ 的收敛速率与底层格式的速率一致？

主要发现

• 对于任意 $\gamma > 0$ 和 $\varepsilon > 0$，若近似 $X^\pi$ 满足 $\|X_T - X_T^\pi\|_p \leq C_p^1 |\pi|^\gamma$，则对包含有界变差函数和由尾部分布控制的跳跃函数在内的所有 $g$，有 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p \leq C_p^2 |\pi|^{\gamma - \varepsilon}$。
• 在 $X_T$ 具有有界密度的假设下，该上界对Euler格式成立，其中 $\gamma = 1/2$，即 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^E)|^p \leq C_p^2 |\pi|^{1/2 - \varepsilon}$ 对任意 $\varepsilon > 0$ 成立。
• 对于 $\gamma = 1$ 的Milstein格式，误差以 $|\pi|^{1 - \varepsilon}$ 的速率衰减，表明对更光滑的 $g$ 具有更优收敛性。
• 通过几何布朗运动的反例，为Euler格式建立了 $|\pi|^{1/2}$ 阶的下界，表明 $|\pi|^{1/2 - \varepsilon}$ 的速率几乎最优。
• 函数类 $\mathcal{G}_{p,\varphi}$ 包含所有多项式，且对有界变差函数和跳跃函数在求和下封闭，具有广泛适用性。
• 上界证明依赖于Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gronwall不等式中的显式常数，通过SDE路径的矩估计控制对 $p$ 的指数依赖。