[论文解读] Convergence rates of spectral orthogonal projection approximation for functions of algebraic and logarithmatic regularities

Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用 4

一句话总结

本论文通过利用Hilb型公式和van der Corput引理，推导出具有代数和对数奇点的函数在谱正交投影（Jacobi、Gegenbauer、Chebyshev）下的最优收敛速率。结果表明，对于边界奇点，增大Jacobi参数$(\alpha,\beta)$或Gegenbauer参数$\lambda$可提高收敛速率，其中Legendre投影的收敛速率比Chebyshev高半阶；而对于内部奇点，收敛速率与这些参数无关。

ABSTRACT

Based on the Hilb type formula between Jacobi polynomials and Bessel functions, optimal decay rates on Jacobi expansion coefficients are derived, by applying van der Corput type lemmas, for functions of logarithmatic singularities, which leads to the optimal convergence rates on the Jacobi, Gegenbauer and Chebyshev orthogonal projections. It is interesting to see that for boundary singularities, one may get faster convergence rate on the Jacobi or Gegenbauer projection as $(α,β)$ and $λ$ increases. The larger values of parameter, the higher convergence rates can be achieved. In particular, the Legendre projection has one half order higher than Chebyshev. Moreover, if $\min\{α,β\}>0$ and $λ>\frac{1}{2}$, the Jacobi and Gegenbauer orthogonal projections have higher convergence orders compared with Legendre. While for interior singularity, the convergence order is independent of $(α,β)$ and $λ$.

研究动机与目标

• 推导出具有代数和对数奇点的函数在谱正交投影下的最优收敛速率。
• 分析收敛速率如何依赖于Jacobi参数$(\alpha,\beta)$和Gegenbauer参数$\lambda$，针对边界奇点与内部奇点的区别。
• 通过新的渐近分析，解决先前框架中对具有对数或分数阶奇点的函数所观察到的次优收敛问题。
• 将分析扩展至分数阶的一般Gegenbauer函数，并为展开系数提供精确界。

提出的方法

• 利用连接Jacobi多项式与贝塞尔函数的Hilb型公式，推导Jacobi展开系数的渐近估计。
• 应用van der Corput型引理，分析由奇点函数产生的振荡积分。
• 建立具有端点奇点$(1\pm x)^\gamma \ln^\mu(1\pm x)$和内部奇点$|x-z_0|^s \ln^\mu|x-z_0|$的函数的系数衰减速率。
• 将系数衰减转化为加权Sobolev范数$H^{m,\alpha,\beta}(\Omega)$下的收敛速率，其中$\Omega = (-1,1)$。
• 通过参数关系$\alpha = \beta = \lambda - 1/2$和$\alpha = \beta = -1/2$，分别推导出Gegenbauer和Chebyshev投影的最优估计。
• 通过奇点分离与极小-极大系数界，将结果推广至具有多个奇点的一般函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在端点或内点具有对数奇点的函数，Jacobi、Gegenbauer和Chebyshev投影的收敛速率如何表现？
• RQ2 收敛速率对边界与内部奇点的参数$\alpha$、$\beta$和$\lambda$的依赖关系是什么？
• RQ3 能否通过新的渐近分析，改进先前框架中对具有对数奇点的函数所观察到的次优收敛？
• RQ4 具有$|x - z_0|^s \ln^\mu|x - z_0|$奇点的函数，其展开系数的最优衰减速率是什么？
• RQ5 在不同正则性和奇点条件下，Legendre、Chebyshev与一般Jacobi投影的收敛阶如何比较？

主要发现

• 对于边界奇点$f(x) = (1-x)^\gamma \ln^\mu(1-x)g(x)$，其中$g \in C^\infty[-1,1]$，Jacobi投影的收敛速率为$\mathcal{O}(N^{m - \alpha - 2\gamma - 1} \ln^\mu N)$，且随$\alpha$增大而改善。
• Legendre投影（$\alpha = \beta = 0$）的收敛速率比Chebyshev高半阶，为$\mathcal{O}(N^{m - 1/2 - 2\gamma} \ln^\mu N)$。
• 当$\min\{\alpha,\beta\} > -1/2$且$\lambda > 1/2$时，Jacobi与Gegenbauer投影的收敛阶优于Legendre投影。
• 对于内部奇点$f(x) = |x - z_0|^s \ln^\mu|x - z_0|g(x)$，收敛速率为$\mathcal{O}(N^{m - s - 1/2} \ln^\mu N)$，与$\alpha$、$\beta$和$\lambda$无关。
• 当$\gamma, \delta$为整数且$\mu \geq 1$时，对数因子简化为$\ln^{\mu-1} N$，从而改善端点奇点的收敛速率。
• 通过奇点分离，结果可推广至多个奇点情形，此时系数衰减速率涉及所有奇点贡献的最小值。