[论文解读] Convergence rates of truncated EM scheme for NSDDEs

Li Tan, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文为由布朗运动和纯跳跃过程驱动的中立型随机微分延迟方程（NSDDEs）建立了截断欧拉-马鲁亚马（EM）格式的收敛速率。在局部利普希茨连续和单边利普希茨连续条件下，结合Khasminskii型增长条件，作者证明了强收敛速率为 $ O(\Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p) $，其中 $ \overline{g}(\Delta) $ 控制截断阈值，为具有非全局利普希茨系数的NSDDEs提供了一种鲁棒的数值方法。

ABSTRACT

This paper is concerned with strong convergence of the truncated Euler-Maruyama scheme for neutral stochastic differential delay equations driven by Brownian motion and pure jumps respectively. Under local Lipschitz condition, convergence rates of the truncated EM scheme are given.

研究动机与目标

• 为具有非全局利普希茨系数的中立型随机微分延迟方程（NSDDEs）开发一种数值稳定且收敛的格式。
• 将此前仅用于SDEs的截断EM方法扩展至由布朗运动和纯跳跃过程驱动的NSDDEs。
• 在局部利普希茨连续和单边利普希茨连续条件下，推导出明确的收敛速率，包括Khasminskii型增长条件。
• 确保数值解在有限时间内保持矩有界且避免爆炸，即使在超线性增长条件下亦成立。

提出的方法

• 通过使用截断函数 $ f^{-1}(g(\Delta)) $ 修改漂移项和扩散项系数，提出一种截断EM格式，确保大值下系数有界。
• 引入一个停时 $ \tau_R $ 以控制精确解的增长，并利用矩估计来限制大偏差的概率。
• 应用伊tô公式和格朗沃尔型不等式，推导出精确解与数值解的矩界。
• 引入一个函数 $ \overline{g}(\Delta) $，用于控制截断阈值，并出现在最终的收敛速率估计中。
• 使用假设 (A1)–(A3) 确保精确解的存在性、唯一性以及矩稳定性。
• 应用Khasminskii型条件 (A3) 以控制漂移项和扩散项的增长，从而在局部利普希茨条件下实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部利普希茨连续和Khasminskii型条件下，由布朗运动驱动的NSDDEs的截断EM格式的强收敛速率是多少？
• RQ2 收敛速率如何依赖于截断函数 $ g(\Delta) $？能否以步长 $ \Delta $ 的形式进行量化？
• RQ3 对于具有超线性增长漂移和扩散系数的NSDDEs，截断EM格式能否保持稳定性和收敛性？
• RQ4 对于由纯跳跃过程驱动的NSDDEs，特别是在单边利普希茨连续和超线性增长条件下，该格式表现如何？
• RQ5 函数 $ \overline{g}(\Delta) $ 在截断与收敛速率之间起到何种平衡作用？

主要发现

• 在局部利普希茨连续和Khasminskii型条件下，由布朗运动驱动的NSDDEs的截断EM格式实现了强收敛速率 $ O(\Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p) $。
• 收敛速率明确依赖于截断函数 $ \overline{g}(\Delta) $，该函数随 $ \Delta \to 0 $ 而增长，反映了稳定性与精度之间的权衡。
• 对于情形 $ D(y) = \frac{1}{2}\sin y $，$ b(x,y) = x - x^3 + \cos y $，$ \sigma(x,y) = |x|^{3/2} $，条件 (A1)–(A4) 均满足，验证了理论框架的有效性。
• 精确解满足 $ \sup_{0 \leq t \leq T} \mathbb{E}|X(t)|^p \leq C $，且 $ \mathbb{P}(\tau_R \leq T) \leq C / R^p $，确保了矩稳定性。
• 截断格式保持了精确解的矩界，数值解满足 $ \mathbb{E}(\sup_{0 \leq t \leq T} |X(t) - Y(t)|^p) \leq C \Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p $。
• 分析结果表明，截断EM格式对具有非全局利普希茨系数的NSDDEs（包括具有超线性增长和单边利普希茨漂移的方程）均有效。