[论文解读] Convergence to the Equilibrium in a Lotka-Volterra Ode Competition System with Mutations

Jérôme Coville, Frédéric Fabre|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2013

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 28被引用 9

一句话总结

该论文通过使用相对熵泛函作为李雅普诺夫函数，建立了带有突变的洛特卡-沃尔泰拉竞争系统全局收敛到唯一正平衡态的结果。证明了突变可防止竞争排斥，确保即使在非突变系统中出现排斥的情况下，也能实现共存与稳定。

ABSTRACT

In this paper we are investigating the long time behaviour of the solution of a mutation competition model of Lotka-Volterra's type. Our main motivation comes from the analysis of the Lotka-Volterra's competition system with mutation which simulates the demo-genetic dynamics of diverse virus in their host : $$ \frac{dv_{i}(t)}{dt}=v_i\[r_i-\frac{1}{K}Ψ_i(v)\]+\sum_{j=1}^{N} μ_{ij}(v_j-v_i). $$ In a first part we analyse the case where the competition terms $Ψ_i$ are independent of the virus type $i$. In this situation and under some rather general assumptions on the functions $Ψ_i$, the coefficients $r_i$ and the mutation matrix $μ_{ij}$ we prove the existence of a unique positive globally stable stationary solution i.e. the solution attracts the trajectory initiated from any nonnegative initial datum. Moreover the unique steady state $\bar v$ is strictly positive in the sense that $\bar v_i>0$ for all $i$. These results are in sharp contrast with the behaviour of Lotka-Volterra without mutation term where it is known that multiple non negative stationary solutions exist and an exclusion principle occurs (i.e For all $i eq i_0, \bar v_{i}=0$ and $\bar v_{i_0}>0$). Then we explore a typical example that has been proposed to explain some experimental data. For such particular models we characterise the speed of convergence to the equilibrium. In a second part, under some additional assumption, we prove the existence of a positive steady state for the full system and we analyse the long term dynamics. The proofs mainly rely on the construction of a relative entropy which plays the role of a Lyapunov functional.

研究动机与目标

• 分析带有突变的演示-遗传病毒种群模型的长期动力学。
• 研究突变如何在经典洛特卡-沃尔泰拉系统中防止竞争排斥。
• 在一般条件下，建立唯一正平衡态的存在性与全局稳定性。
• 在特定生物学模型中，表征收敛到平衡态的速度。
• 在对相互作用矩阵和突变矩阵的附加结构假设下，将结果扩展到完整系统。

提出的方法

• 构建一个作为系统李雅普诺夫函数的相对熵泛函。
• 利用相互作用项 $\Psi_i(v)$ 的单调性与局部利普希茨连续性，以及突变矩阵 $\mu_{ij}$ 的不可约性与对称性。
• 通过辅助常微分方程应用渐近分析与比较原理，以界定解轨迹。
• 采用基于 $\epsilon$-正则化与 $\delta_0$-缩放的扰动论证，以控制收敛速率。
• 利用特定四基因型模型中突变矩阵 $M$ 的结构，推导出定量收敛估计。
• 应用原系统与辅助常微分方程之间的比较定理，建立相对熵的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带有突变的洛特卡-沃尔泰拉系统会存在唯一全局稳定的正平衡态？
• RQ2 突变如何改变经典洛特卡-沃尔泰拉系统中观察到的竞争排斥原理？
• RQ3 在生物学上相关的突变-竞争模型中，收敛到平衡态的速率是什么？
• RQ4 在一般假设下，相对熵泛函能否作为此类系统的李雅普诺夫函数？
• RQ5 对 $\Psi_i$ 与 $\mu_{ij}$ 的结构假设如何影响长期动力学与稳定性？

主要发现

• 在温和假设下，系统存在唯一正的全局稳定平衡态，且对所有 $i$ 有 $\bar{v}_i > 0$。
• 突变项消除了竞争排斥，确保所有基因型共存。
• 在具有突变矩阵 $M$ 的特定四基因型模型中，收敛到平衡态的速度呈指数快速。
• 相对熵 $\mathcal{E}(h)$ 随 $t \to \infty$ 衰减至零，且满足 $\sqrt{\mathcal{E}(h(t))} \leq \frac{\epsilon \delta_0}{2^n}$（当 $t \geq t_n$ 时），表明在扰动系统中呈指数衰减。
• 通过与辅助常微分方程的比较，量化了收敛速率，表明当 $t$ 较大时有 $\sqrt{\mathcal{E}(h)} \leq \frac{2kC\epsilon^2\delta_0^2}{d}$。
• 证明依赖于 $\widetilde{\Psi}_{\bar{v}_\epsilon}$ 的严格单调性以及解轨迹的统一有界性。