[论文解读] Convergent and Divergent Series in Physics

Carl M. Bender, Carlo Heissenberg|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用 9

一句话总结

本文提出了一套先进的数学方法，用于求和物理中的收敛与发散微扰级数，重点在于收敛加速（如Shanks变换、Richardson外推法）以及通过Borel求和、Padé逼近和连分数对发散级数进行求和。主要贡献在于证明了对谐振子基态能量的发散微扰级数可一致地通过Padé逼近求和，其系数按 $ n! \, 3^n $ 增长，满足Carleman条件，从而确保Padé序列的收敛性。

ABSTRACT

The aim of this review, based on a series of four lectures held at the 22nd "Saalburg" Summer School (2016), is to cover selected topics in the theory of perturbation series and their summation. The first part is devoted to strategies for accelerating the rate of convergence of convergent series, namely Richardson extrapolation, and the Shanks transformations, and also covers a few techniques for accelerating the convergence of Fourier series. The second part focuses on divergent series, and on the tools allowing one to retrieve information from them. These techniques include Euler summation, Borel summation, generic summation, and the method of continued functions, including in particular the Padé theory based on continued fractions. Finally, a brief discussion of Stieltjes series and functions is given in order to study the convergence properties of Padé approximants.

研究动机与目标

• 开发并展示从量子与统计物理中的形式幂级数中提取物理信息的方法。
• 解决在量子场论和量子力学中出现的发散微扰级数求和问题。
• 证明Padé逼近和连分数在求和渐近级数方面的有效性，特别是针对非谐振子。
• 建立微扰级数的大阶行为与通过色散关系联系的物理现象（如隧道效应）之间的关联。

提出的方法

• 利用Richardson外推法和Shanks变换加速收敛级数的收敛速度。
• 应用Borel求和与Euler求和为发散级数赋予有限值。
• 基于连分数的Padé逼近用于从渐近级数近似函数。
• 使用Stieltjes函数和Herglotz函数刻画微扰级数的解析结构。
• 通过积分表示导出的色散关系，将级数系数与物理可观测量联系起来。
• 采用WKB方法估算Stieltjes积分表示中能量级数的谱函数 $ D(t) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子力学中的发散微扰级数能否被赋予一个有限且具有物理意义的和？
• RQ2 何种数学条件可确保渐近级数的Padé逼近收敛？
• RQ3 微扰级数的大阶系数如何与量子隧穿等物理过程相关联？
• RQ4 连分数方法是否能提供比标准Padé逼近更稳健的求和技术？
• RQ5 复平面上的奇点在微扰展开的可求和性中起什么作用？

主要发现

• 非谐振子基态能量的微扰级数系数增长为 $ a_n \sim n! \, 3^n $，满足Carleman条件，确保矩问题的唯一性。
• 相应的Padé逼近收敛到正确的能量值，表1的数值结果证实其收敛于约0.825。
• 非谐振子的函数 $ F(\epsilon) = (E_0(\epsilon) - E_0(0))/\epsilon $ 满足Stieltjes函数的全部四个性质，从而可表示为色散关系。
• Stieltjes积分表示中的谱函数 $ D(t) $ 可通过WKB方法估算，从而将级数系数与隧穿振幅联系起来。
• 在该背景下，连分数方法，特别是Padé逼近，被证明是求和发散级数最有力的工具。
• 方程 $ \epsilon x^5 + x - 1 = 0 $ 的根的级数收敛半径为 $ \rho = 4^4 / 5^5 < 1 $，表明在 $ \epsilon = 1 $ 处发散，凸显了求和技术的必要性。