[论文解读] Convergent approximation of surfaces of prescribed Gaussian curvature with weak Dirichlet conditions

Brittany D. Froese|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种单调数值格式，通过求解完全非线性 Monge-Ampère 方程来逼近具有给定高斯曲率的曲面。尽管边界条件较弱，无法应用标准比较原理，但该方法在区域内部实现了对粘性解的收敛性，利用一种放松的内部比较原理和改进的 Barles-Souganidis 框架。

ABSTRACT

We consider the construction of surfaces of prescribed Gaussian curvature via the numerical solution of a fully nonlinear partial differential equation of Monge-Amp\`ere type. In this setting, solutions may not be able to satisfy even a simple Dirichlet boundary condition, and the resulting weak solutions need not be continuous up to the boundary. As a consequence, sub-solutions do not always lie below super-solutions, and existing convergence proofs do not apply. By relying on a geometric interpretation of weak solutions, we prove a relaxed comparison principle that applies only in the interior of the domain. We then modify the Barles-Souganidis convergence framework to show that monotone approximations converge to the viscosity solution in the interior of the domain. We describe a monotone approximation of the equation and present several challenging computational examples to validate these theoretical results.

研究动机与目标

• 解决在标准 Dirichlet 边界条件失效时构造具有指定高斯曲率曲面的挑战。
• 克服由于边界处弱解不连续而导致经典比较原理失效的问题。
• 在缺乏边界正则性的情况下，为单调数值逼近在区域内部建立收敛框架。
• 通过涉及复杂曲率行为的计算实例验证理论框架。

提出的方法

• 通过将比较原理限制在区域内部，将 Barles-Souganidis 收敛框架适配于弱 Dirichlet 条件。
• 引入弱解的几何解释，以定义仅在区域内部有效的放松比较原理。
• 构建完全非线性 Monge-Ampère 方程的单调有限差分逼近，用于指定高斯曲率。
• 利用粘性解理论证明单调格式在区域内部收敛于唯一的粘性解。
• 实施计算实验，测试该格式在具有挑战性曲率分布和边界行为的曲面上的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当由于弱边界条件导致标准比较原理失效时，如何为 Monge-Ampère 方程的数值逼近建立收敛性？
• RQ2 弱解的何种几何性质使得仅在区域内部有效的放松比较原理成为可能？
• RQ3 在弱 Dirichlet 条件下，单调有限差分格式能否收敛于粘性解，以及如何证明这一点？
• RQ4 哪些计算证据支持该格式在非光滑设置下的理论收敛性和鲁棒性？

主要发现

• 建立了一种仅在区域内部适用的放松比较原理，使得即使在边界不连续的情况下也能进行收敛性分析。
• 改进的 Barles-Souganidis 框架确保了单调数值逼近在区域内部收敛于粘性解。
• 所提出的单调格式即使在边界数据较弱或不连续时，也能成功计算具有指定高斯曲率的曲面解。
• 计算实例表明，该格式在复杂曲率构型下具有鲁棒性，验证了理论收敛结果。