[论文解读] Convergent Data-driven Regularizations for CT Reconstruction

Samira Kabri, Alexander Auras+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2022

Medical Imaging Techniques and Applications被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于数据驱动的线性正则化方法，用于计算机断层扫描（CT）重建，通过从训练数据中学习最优奇异值滤波器（基于SVD）和傅里叶域滤波器（基于FFT）。在适当条件下证明了两种方法的收敛性，并表明所学习的滤波器在重建结果中比训练数据更平滑、更准确，数值验证显示其性能优于经典方法，尤其在低噪声水平下表现更优。

ABSTRACT

The reconstruction of images from their corresponding noisy Radon transform is a typical example of an ill-posed linear inverse problem as arising in the application of computerized tomography (CT). As the (naive) solution does not depend on the measured data continuously, regularization is needed to re-establish a continuous dependence. In this work, we investigate simple, but yet still provably convergent approaches to learning linear regularization methods from data. More specifically, we analyze two approaches: One generic linear regularization that learns how to manipulate the singular values of the linear operator in an extension of our previous work, and one tailored approach in the Fourier domain that is specific to CT-reconstruction. We prove that such approaches become convergent regularization methods as well as the fact that the reconstructions they provide are typically much smoother than the training data they were trained on. Finally, we compare the spectral as well as the Fourier-based approaches for CT-reconstruction numerically, discuss their advantages and disadvantages and investigate the effect of discretization errors at different resolutions.

研究动机与目标

• 开发可证明收敛的、基于数据驱动的线性正则化方法，用于病态CT重建问题。
• 研究通过学习的谱域与傅里叶域滤波器如何稳定从含噪Radon数据中进行的重建。
• 分析在不同离散化水平下，所学习正则化器的收敛行为及过度平滑效应。
• 从准确性、平滑性及对噪声和离散化误差的鲁棒性角度，比较基于SVD与FFT的正则化方法的性能。

提出的方法

• 利用训练数据学习Radon算子奇异值σn的最优正则化函数gδ(σn)，确保当噪声δ → 0时收敛。
• 通过紧线性算子A的奇异值分解，推导出最优谱正则化函数gδ(σ)的闭式表达式。
• 在傅里叶域中应用类似的框架，学习滤波反投影（FBP）方法的最优滤波器ρδ(r)。
• 利用快速傅里叶变换（FFT）实现Radon变换的高效、细粒度离散化，并在频域中计算滤波器。
• 通过在合成数据和真实CT数据（LoDoPaB-CT）上的数值实验，评估不同噪声水平和分辨率下的性能表现。
• 通过比较不同角度和空间采样率下的结果，分析离散化误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使从有限数据中学习，基于数据驱动的线性正则化方法是否能在噪声水平δ → 0时被证明收敛？
• RQ2 所学习的谱域与傅里叶域滤波器在重建准确性和平滑性方面有何差异？
• RQ3 离散化分辨率对所学习正则化器的性能与收敛性有何影响？
• RQ4 为何FFT域滤波器在低噪声水平下与理论连续解存在显著偏差？
• RQ5 所学习的正则化器在不同数据分布之间（如合成椭圆与真实患者CT扫描）的泛化能力如何？

主要发现

• 基于奇异值操作的所学习谱正则化方法在标准假设下具有可证明的收敛性，且当δ → 0时可保证收敛。
• 所学习的傅里叶域滤波器（用于FBP）在连续极限下被证明是收敛的，但离散化误差导致性能显著下降，尤其在低噪声水平下。
• 使用所学习滤波器的重建结果明显比训练数据更平滑，表明正则化本身存在固有的过度平滑效应。
• 在低噪声水平（δ = 0.005）下，基于SVD的方法在准确性上显著优于基于FFT的方法，因其离散化伪影更少。
• 当正则化器在与测试数据分布匹配的数据上进行训练时，跨数据集的泛化能力得到提升，在LoDoPaB-CT上使用相似数据训练时性能明显提升。
• 数值结果表明，更高空间与角度分辨率下的最优滤波器收敛于稳定、平滑的形状，表明对更高采样率具有鲁棒性。