[论文解读] Convergent Lifted Lasserre Hierarchy of SDPs for Minimizing Expectation of Piecewise Polynomial Loss over Wasserstein Balls

N. D. Dizon, Q. Y. Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2026

Risk and Portfolio Optimization被引用 0

一句话总结

论文开发了一个提升的基于SOS的SDP层次，用以近似并收敛到在沃瑟斯坦歧义下、具有分段多项式损失的分布鲁棒优化问题的最优值，包括在凸性条件下的有限收敛。

ABSTRACT

This paper investigates the minimization of the expectation of piecewise polynomial loss functions over Wasserstein balls. This optimization problem often appears as a key sub-problem of distributionally robust optimization problems. We establish the asymptotic convergence of a hierarchy of semi-definite programming (SDP) relaxations, providing a framework for approximating the optimal values of these inherently infinite-dimensional optimization problems. A central foundational contribution is the development of a new lifted positivity certificate: we demonstrate that piecewise polynomials positive over Archimedean basic semi-algebraic sets admit a structured system of sum-of-squares (SOS) representations. Furthermore, we prove that the proposed hierarchy achieves finite convergence under suitable conditions when the defining polynomials are convex. The practical utility and versatility of this approach are demonstrated via numerical experiments in revenue estimation and portfolio optimization.

研究动机与目标

• 在分布鲁棒优化中，动机化并给出在沃瑟斯球体内最小化分段多项式损失期望的问题的公式化。
• 为在Archimedean半代数集合上分段多项式构建新的提升正性证明。
• 构建一个收敛的SDP层次以近似无限维的DRO问题，并证明渐进收敛性（以及在凸性下的有限收敛性）。

提出的方法

• 在基本半代数支集 Xi 内引入分段多项式损失和沃瑟斯坦歧义集。
• 推导在Xi上分段多项式的提升和平方和表示（正性证明）(定理 3.2)。
• 构造一系列SDP（AD_r），为期望问题（EP）提供日益严格的放宽。
• 证明该SDP层次对DRO最优值的渐近收敛性（定理 3.4）。
• 在合适的凸性条件下，利用凸-凹极小极大问题和拉格朗日对偶性以及Scheiderer 的SOS表示，建立有限收敛性。
• 通过数值实验展示在具有分段多项式效用的收入估计和均-CVaR投资组合优化中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何近似最小化沃瑟斯坦歧义期望的无限维问题（分段多项式损失）？
• RQ2 提升的SOS表示是否能证明在Archimedean半代数集合上分段多项式的正性？
• RQ3 在什么条件下SDP层次对DRO最优值会渐近收敛或有限收敛？
• RQ4 该框架在实际DRO问题（如收入估计和投资组合优化）上的表现如何？

主要发现

• 一个提升的正性证明表明，在Archimedean基础半代数集合上的分段多项式若为正，则可获得有结构的SOS表示。
• 构建了一个SDP层次（AD_r），其可行性约束可收敛地逼近EP最优值。
• 在多项式定界的凸性下，证明该层次对真正最优值的渐近收敛（当 r → ∞ 时；若满足有限收敛条件则达到有限收敛）。
• 该方法将基于矩的DRO扩展到比先前的分段二次或SOS-凸设定更一般的分段多项式域。
• 数值实验表明该方法可用于具有分段多项式效用的收入估计以及均-CVaR投资组合优化的应用。