[论文解读] Convergent sequences of sparse graphs: A large deviations approach

Christian Borgs, Jennifer Chayes+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新的大偏差（LD）收敛框架，用于分析稀疏图序列，该框架通过独立同分布的节点权重在[0,1]和[0,1]²上诱导的随机测度来定义。LD-收敛蕴含右收敛、左收敛和划分收敛，并提供了一个极限对象，可表达极限自由能，从而解决了不同收敛概念之间此前未知的关系。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new notion of convergence of sparse graphs which we call Large Deviations or LD-convergence and which is based on the theory of large deviations. The notion is introduced by "decorating" the nodes of the graph with random uniform i.i.d. weights and constructing random measures on $[0,1]$ and $[0,1]^2$ based on the decoration of nodes and edges. A graph sequence is defined to be converging if the corresponding sequence of random measures satisfies the Large Deviations Principle with respect to the topology of weak convergence on bounded measures on $[0,1]^d, d=1,2$. We then establish that LD-convergence implies several previous notions of convergence, namely so-called right-convergence, left-convergence, and partition-convergence. The corresponding large deviation rate function can be interpreted as the limit object of the sparse graph sequence. In particular, we can express the limiting free energies in terms of this limit object.

研究动机与目标

• 解决稀疏图中缺乏统一收敛框架的问题，其中以往的左收敛、右收敛和划分收敛等概念尚未被证明等价。
• 提出一种基于独立同分布节点装饰所导出的随机测度上应用大偏差原理的新收敛概念——大偏差（LD）收敛。
• 建立LD-收敛蕴含现有收敛类型（右收敛、左收敛和划分收敛）的结论，从而在统一的极限对象下统一这些概念。
• 提供一个大偏差率函数作为图序列的极限对象，该函数可编码图上统计力学模型的极限自由能。
• 通过证明划分收敛不蕴含左/右收敛，且右收敛不蕴含划分收敛，解决收敛概念层次结构的开放问题。

提出的方法

• 为图的每个节点赋予[0,1]上独立同分布的均匀随机权重，通过边和节点的贡献将图转化为[0,1]和[0,1]²上的随机测度。
• 将LD-收敛定义为在有界测度的弱收敛拓扑下，这些随机测度的依分布收敛。
• 对随机测度序列应用大偏差原理（LDP），以形式化LD-收敛。
• 将LDP的率函数用作图序列的极限对象，该函数刻画了同态密度的渐近行为。
• 通过分析极限对象的结构并构造反例，建立不同收敛类型之间的蕴含关系。
• 借助统计力学和自旋玻璃理论的工具，分析如G(n,c/n)和G(n,Δ)等自然随机图模型的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为稀疏图构建一个统一的收敛框架，使其涵盖左收敛、右收敛和划分收敛等既有概念？
• RQ2 LD-收敛是否蕴含稀疏图中所有先前定义的收敛概念？
• RQ3 划分收敛与其他收敛类型之间存在何种关系——具体而言，划分收敛是否蕴含左收敛或右收敛？
• RQ4 LD-收敛中的极限对象能否被解释为图上统计力学模型的自由能？
• RQ5 像G(n,c/n)和G(n,Δ)这样的自然随机图序列是否几乎必然LD-收敛？

主要发现

• LD-收敛通过应用于独立同分布节点权重所诱导的随机测度的大偏差原理来定义，为稀疏图提供了一种新颖且稳健的收敛准则。
• LD-收敛蕴含右收敛、左收敛和划分收敛，确立了一个统一的层次结构，将此前分散的概念统一起来。
• 大偏差率函数作为极限对象，可用于表达图序列上模型的极限自由能。
• 本文构造了一个反例，证明划分收敛不蕴含右收敛或左收敛，从而解决了此前未解的开放问题。
• 同时证明右收敛不蕴含划分收敛，表明收敛概念的层次结构是严格的。
• 作者推测，Erdős–Rényi随机图G(n,c/n)和随机正则图G(n,Δ)几乎必然LD-收敛，将该理论与基本的随机图模型联系起来。