[论文解读] Convergents as approximants in continued fraction expansions of complex numbers with Eisenstein integers

S. G. Dani|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文证明了艾森斯坦整数连分数展开中的渐近分数是最优逼近，证明了对任意复数 $ z $，对所有满足 $ |q| \leq |q_n| $ 的 $ q \in \mathbb{Z}[\omega] $，逼近误差 $ |qz - p| $ 满足下界 $ \frac{1}{2} |q_n z - p_n| $。此外，本文通过展开式中部分商的有界性，刻画了不良逼近复数的特征。

ABSTRACT

Let $\frak E$ denote be the ring of Eisenstein integers. Let $z\in \mathbb C$ and $p_n,q_n \in \frak E$ be such that $\{p_n/q_n\}$ is the sequence of convergents corresponding to the continued fraction expansion of $z$ with respect to the nearest integer algorithm. Then we show that for any $q\in \frak E$ such that $1\leq |q|\leq |q_n|$ and any $p\in \frak E$, $|qz-p|\geq \frac12 |q_nz-p_n|$. This enables us to conclude that $z\in \mathbb C$ is badly approximable, in terms of Eisenstein integers, if and only if the corresponding sequence of partial quotients is bounded.

研究动机与目标

• 将实数连分数中最佳逼近的经典概念扩展到复数连分数，使用艾森斯坦整数。
• 在环 $ \mathbb{Z}[\omega] $ 上的复平面上，建立渐近分数逼近质量的下界。
• 通过艾森斯坦整数连分数展开中的部分商有界性，刻画不良逼近复数。
• 比较艾森斯坦整数与高斯整数在逼近质量上的差异，突出最优常数的不同。

提出的方法

• 在艾森斯坦整数环 $ \mathfrak{E} = \mathbb{Z}[\omega] $ 上使用最近整数算法，其中 $ \omega $ 是单位原根的非平凡立方根。
• 通过迭代应用最近整数映射定义连分数展开，生成序列 $ \{a_n\} $、$ \{p_n\} $ 和 $ \{q_n\} $，其中 $ p_n/q_n $ 为渐近分数。
• 应用 $ p_n $ 和 $ q_n $ 的递推关系，并利用恒等式 $ |q_n z - p_n| = |z_{n+1} q_n + q_{n-1}|^{-1} $ 将逼近误差与连分数尾部联系起来。
• 通过几何与代数估计 $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{3} $、$ |r_n| = |q_{n-1}/q_n| $ 以及 $ |\beta z_{n+1} - \alpha| $ 的界，推导出关键不等式。
• 使用反证法证明对所有 $ \alpha, \beta \in \mathfrak{E} $，有 $ |\beta z_{n+1} - \alpha| \geq \frac{1}{2} $，从而得出主要结果。
• 将结果应用于通过部分商有界性 $ \{|a_n|\} $ 刻画不良逼近数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在最优常数 $ c $，使得对所有满足 $ |q| \leq |q_n| $ 的 $ q \in \mathfrak{E} $，有 $ |qz - p| \geq c |q_n z - p_n| $？
• RQ2 艾森斯坦整数连分数中的渐近分数与其他逼近器相比，其逼近质量如何？
• RQ3 能否通过连分数展开中部分商有界性来刻画 $ \mathfrak{E} $ 上的不良逼近复数？
• RQ4 为何艾森斯坦情形下常数为 $ \frac{1}{2} $，而高斯整数情形下为 $ \frac{1}{5} $？
• RQ5 艾森斯坦整数环 $ \mathfrak{E} $ 的哪些几何与代数性质使其能获得强于 $ \mathfrak{G} $ 的逼近界？

主要发现

• 本文证明，对任意 $ z \in \mathbb{C} $，渐近分数 $ p_n/q_n $ 满足对所有满足 $ 1 \leq |q| \leq |q_n| $ 的 $ p, q \in \mathfrak{E} $，有 $ |qz - p| \geq \frac{1}{2} |q_n z - p_n| $，从而确立 $ \frac{1}{2} $ 为最优常数。
• 常数 $ \frac{1}{2} $ 是紧的，源于艾森斯坦格点的几何结构以及 $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{3} $ 的下界。
• 在 $ \mathfrak{E} $ 上，不良逼近复数可通过部分商有界性刻画：$ z $ 为不良逼近当且仅当 $ \{|a_n|\} $ 有界。
• 证明依赖于反证法与对 $ |\beta z_{n+1} - \alpha| $ 的估计，表明其不可能小于 $ \frac{1}{2} $，利用了 $ |\beta| \geq \sqrt{3} $ 以及 $ |r_n| \leq \sqrt{2/3} $ 或 $ |r_{n-1}| \leq \sqrt{2/3} $。
• 该结果与高斯整数情形形成对比，后者最优常数为 $ \frac{1}{5} $，原因在于 $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{2} $ 的下界更弱。
• 通过部分商有界性刻画不良逼近数的特征，与经典实数情形一致，但现适用于 $ \mathfrak{E} $ 上的复数情形。