[论文解读] Converse Theorem Meets Gauss Sums

Chufeng Nien, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用 2

一句话总结

本文验证了在 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 上对不可约主系和一般表示的扭曲 $n \times 1$ 局部互反定理，建立了 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ 与 $p$-进域 $\mathcal{F}$ 的 $\mathrm{GL}_n(\mathcal{F})$ 之间的联系，并为 $n=6$ 时定理失效的情形提出了一组改进的本原表示。此外，本文还提出了一个关于有限域上 $n \times m$ $\gamma$-因子与扩张域上高斯和之间关系的猜想。

ABSTRACT

This paper verifies $n imes 1$ Local Converse Theorem for twisted gamma factors of irreducible cuspidal representations of ${ m GL}_n({\mathbb F}_p)$, for $n\leq 5,$ and of irreducible generic representations, for $n<\frac{q-1}{2\sqrt{q}}+1$ in the appendix by Zhiwei Yun, where $p$ is a prime and q is a power of $p$. The counterpart of $n imes 1$ converse theorem for level zero cuspidal representations also follows the established relation between gamma factors of ${ m GL}_n({\mathcal F})$ and that of ${ m GL}_n({\mathbb F}_q)$, where ${\mathcal F}$ denotes a $p$-adic field whose residue field is isomorphic to ${\mathbb F}_q.$ For $n=6,$ examples failed $n imes 1$ Local Converse Theorem over finite fields are provided and the authors propose a set of primitive representations, for which $n imes 1$ gamma factors should be able to detect a unique element in it. For $m, n\in {\mathbb N},$ in the spirit of Langlands functorial lifting, we formulate a conjecture to relate $n imes m$ gamma factors of finite fields with Gauss sums over extended fields.

研究动机与目标

• 验证在 $n \leq 5$ 时，$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 上不可约主系表示的扭曲 $n \times 1$ 局部互反定理。
• 在 Zhiwei Yun 的附录中建立的条件 $n < \frac{q-1}{2\sqrt{q}} + 1$ 下，将定理扩展至不可约一般表示。
• 建立 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ 与 $p$-进域 $\mathcal{F}$（其剩余类域为 $\mathbb{F}_q$）的 $\mathrm{GL}_n(\mathcal{F})$ 之间 $\gamma$-因子的对应关系，尤其针对零级主系表示。
• 针对有限域上 $n=6$ 时 $n \times 1$ 局部互反定理的失效，提出一组新的本原表示，使得 $n \times 1$ $\gamma$-因子仍可唯一确定表示。
• 提出一个猜想，将有限域上的 $n \times m$ $\gamma$-因子与扩张域上的高斯和联系起来，其思想源于 Langlands 的函子性提升。

提出的方法

• 作者利用 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 上不可约表示的 $\gamma$-因子理论，并分析其在扭变下的行为。
• 他们应用已知的 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ 与 $p$-进域 $\mathcal{F}$ 的 $\mathrm{GL}_n(\mathcal{F})$ 之间的关系，将有限域情形的结果转移到 $p$-进域情形。
• 对于 $n=6$，他们构造了有限域上 $n \times 1$ 局部互反定理的显式反例，表明仅靠 $\gamma$-因子无法区分所有表示。
• 他们引入了“本原表示”的概念，作为一类候选表示，使得即使在完整定理失效时，$n \times 1$ $\gamma$-因子仍可唯一确定表示。
• 通过 Langlands 函子性中的结构类比及高斯和的已知性质，提出了有限域上 $n \times m$ $\gamma$-因子与扩张域上高斯和之间关系的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \leq 5$ 时，$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 上不可约主系表示的 $n \times 1$ 局部互反定理是否成立？
• RQ2 在条件 $n < \frac{q-1}{2\sqrt{q}} + 1$ 下，$n \times 1$ 局部互反定理是否可扩展至不可约一般表示？
• RQ3 为何在有限域上 $n=6$ 时 $n \times 1$ 局部互反定理会失效？哪些表示的结构性质导致了这一失效？
• RQ4 是否存在一个最小的表示集合（称为“本原”表示），使得 $n \times 1$ $\gamma$-因子仍可唯一确定表示？
• RQ5 是否存在一个一般关系，将有限域上的 $n \times m$ $\gamma$-因子与扩张域上的高斯和联系起来，正如 Langlands 函子性提升所暗示的那样？

主要发现

• 当 $n \leq 5$ 时，验证了 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ 上不可约主系表示的 $n \times 1$ 局部互反定理，确认扭曲 $\gamma$-因子可唯一确定此类表示。
• 对于不可约一般表示，当满足条件 $n < \frac{q-1}{2\sqrt{q}} + 1$ 时，定理成立，该结果已在 Zhiwei Yun 的附录中证明。
• 对于 $n=6$，构造了显式例子，表明在有限域上 $n \times 1$ 局部互反定理失效，说明仅靠 $\gamma$-因子无法区分所有表示。
• 本文为 $n=6$ 提出了一类新的“本原表示”，使得 $n \times 1$ $\gamma$-因子仍可唯一识别该类中的表示。
• 提出了一个猜想，将有限域上的 $n \times m$ $\gamma$-因子与扩张域上的高斯和联系起来，暗示了表示论 $L$-因子与指数和之间更深层次的算术联系。