[论文解读] Convex Bodies Associated to Tensor Norms

Maite Fernández-Unzueta, Luisa F. Higueras-Montaño|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

本文引入了“张量体”——即张量积空间 Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 中的 0-对称凸体，它们作为合理交叉范数的单位球。论文通过因子空间单位球的项目积与射影积建立了表征，证明仅希尔伯特张量积单位球为椭球，并定义了张量型 Banach-Mazur 距离，从而形成此类体的紧致空间。

ABSTRACT

We determine when a convex body in $\mathbb{R}^d$ is the closed unit ball of a reasonable crossnorm on $\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots\otimes\mathbb{R}^{d_l},$ $d=d_1\cdots d_l.$ We call these convex bodies "tensorial bodies". We prove that, among them, the only ellipsoids are the closed unit balls of Hilbert tensor products of Euclidean spaces. It is also proved that linear isomorphisms on $\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots \otimes \mathbb{R}^{d_l}$ preserving decomposable vectors map tensorial bodies into tensorial bodies. This leads us to define a Banach-Mazur type distance between them, and to prove that there exists a Banach-Mazur type compactum of tensorial bodies.

研究动机与目标

• 表征张量积空间 Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 中哪些 0-对称凸体是合理交叉范数的单位球。
• 定义并研究“张量体”类，即满足因子空间单位球的项目积与射影积之间包含关系的凸体。
• 研究在保持可分解向量的线性同构下，张量体的几何结构。
• 定义张量型 Banach-Mazur 距离，并建立张量体的紧致空间。
• 确定哪些椭球是张量体，表明它们必须来自欧几里得空间的希尔伯特张量积。

提出的方法

• 使用 Minkowski 泛函在有限维空间中建立范数与 0-对称凸体之间的双射。
• 通过包含关系 Q₁ ⊗π ⋯ ⊗π Qₗ ⊆ Q ⊆ Q₁ ⊗ǫ ⋯ ⊗ǫ Qₗ 表征张量体，其中 Qᵢ 是 R^{dᵢ} 上范数 ∥·∥ᵢ 的单位球。
• 应用 Aubrun 和 Szarek 定义的凸体的项目积与射影积，推导出必要且充分条件。
• 引入张量型 Banach-Mazur 距离 δBM⊗(P, Q) = inf{λ ≥ 1 : Q ⊆ T(P) ⊆ λQ}，其中 T 保持可分解向量。
• 使用归纳法与正交变换论证，证明满足张量包含关系的椭球必为希尔伯特张量积球。
• 利用矩阵恒等式与反对称矩阵约束（通过引理 4.6），表明具有特定分块结构的正定矩阵必为单位矩阵，从而支持椭球的表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量积空间中哪些 0-对称凸体是合理交叉范数的单位球？
• RQ2 在保持可分解向量的线性同构下，张量体集合的几何结构如何？
• RQ3 能否从张量体构造出类似 Banach-Mazur 的紧致空间？
• RQ4 哪些椭球是张量体，且在何种条件下出现？
• RQ5 希尔伯特张量积在表征张量椭球中起什么作用？

主要发现

• 当且仅当存在 R^{dᵢ} 中的 0-对称凸体 Qᵢ，使得 Q₁ ⊗π ⋯ ⊗π Qₗ ⊆ Q ⊆ Q₁ ⊗ǫ ⋯ ⊗ǫ Qₗ 时，Rd₁ ⊗ ⋯ ⊗ Rdₗ 中的 0-对称凸体 Q 才是张量体。
• 张量体的极对偶仍是张量体，且张量体在正标量乘法下保持不变。
• 定义包含关系中的因子凸体 Qᵢ 几乎唯一。
• 保持可分解向量的线性同构将张量体映射为张量体，从而可定义张量型 Banach-Mazur 距离。
• 唯一为张量体的椭球是欧几里得空间希尔伯特张量积的闭单位球。
• 在张量型距离 δBM⊗ 下，张量体集合具有类似 Banach-Mazur 的紧致空间。