[论文解读] Convex bodies of constant width in spaces of constant curvature and the extremal area of Reuleaux triangles

Károly J. Böröczky, Adam Sagmeister|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2022

Point processes and geometric inequalities被引用 4

一句话总结

本文在常曲率曲面——欧几里得平面、球面和双曲面——上建立了布拉施克-勒贝斯格定理的稳定性版本，针对等宽凸体。证明了：若某等宽体的面积与最小的雷诺劳三角形面积之差任意小，则该体必与雷诺劳三角形在豪斯多夫距离上也任意接近。关键结果是给出了该体与雷诺劳三角形之间豪斯多夫距离的显式定量界，其依赖于面积超出最小值的量。

ABSTRACT

Extending Blaschke and Lebesgue's classical result in the Euclidean plane, it has been recently proved in spherical and the hyperbolic cases, as well, that Reuleaux triangles have the minimal area among convex domains of constant width $D$. We prove an essentially optimal stability version of this statement in each of the three types of surfaces of constant curvature. In addition, we summarize the fundamental properties of convex bodies of constant width in spaces of constant curvature, and provide a characterization in the hyperbolic case in terms of horospheres.

研究动机与目标

• 将经典的布拉施克-勒贝斯格定理（关于等宽集的最小面积）推广至球面和双曲面。
• 在常曲率空间中，为雷诺劳三角形的最小面积性质建立一个精确的稳定性估计。
• 通过极限曲面和支撑几何，刻画双曲空间中等宽凸体的性质。
• 提供双曲布拉施克-勒贝斯格定理的统一且初等的证明，改进了以往复杂的论证方法。

提出的方法

• 使用豪斯多夫距离来度量等宽体与雷诺劳三角形之间的几何接近程度。
• 基于给定等宽集K的内切圆半径r(K)构造一个比较体Q。
• 通过中心点处的角度估计来控制K的顶点相对于雷诺劳三角形顶点的偏离程度。
• 应用测地三角形几何与曲率相关的界，推导出稳定性不等式中的显式常数。
• 利用K的直径恰好为D这一事实，限制K相对于参考雷诺劳三角形的位置。
• 结合体积比较与几何扰动分析，以面积超出量ε为参数，推导出定量的稳定性界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲平面上，等宽为D的凸体的最小面积是多少？该最小值是否由雷诺劳三角形实现？
• RQ2 若某等宽体的面积仅比最小面积略大，则它与雷诺劳三角形的接近程度如何？
• RQ3 布拉施克-勒贝斯格定理能否推广至球面和双曲几何，并保持雷诺劳三角形为最小面积的极小化器？
• RQ4 面积超出量与偏离雷诺劳三角形的几何偏差（豪斯多夫距离）之间是否存在精确的定量关系？
• RQ5 如何通过极限曲面和支撑几何来刻画双曲空间中等宽体的性质？

主要发现

• 在双曲平面上，雷诺劳三角形在所有等宽为D的凸体中实现最小面积，且等号成立当且仅当该体与雷诺劳三角形合同。
• 对于常曲率空间中任意等宽为D的体K，若其面积不超过V(U_D) + ε，则K与某个等宽为D的雷诺劳三角形U之间的豪斯多夫距离至多为θε，其中θ为依赖于D和曲率的显式常数。
• 稳定性常数θ可显式计算，且依赖于环境空间的几何结构，具体形式为θ = max{θ₁₂, 2D/ε₀}（当ε ≥ ε₀时）。
• 在双曲情形下，证明显著简化且更具初等性，优于以往依赖分段光滑性假设的方法。
• 本文给出了双曲空间中等宽体的刻画：其支撑极限曲面之间的距离恰好为D。
• 稳定性结果本质上是最优的，除非增加额外假设，否则无法进一步改进该界的形式。