[论文解读] Convex Chance-Constrained Programs with Wasserstein Ambiguity

Haoming Shen, Ruiwei Jiang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文建立了在 Wasserstein 不确定性下，机会约束规划具有凸可行域的充分条件，从而可通过锥优化高效求解。当 Wasserstein 中心为高斯分布时，证明了左侧不确定性下可行域的凸性；当中心为对数凹或 α-凹分布（α ≥ -1）时，证明了右侧不确定性下可行域的凸性，并提出了一种收敛的块坐标上升算法来求解此类问题。

ABSTRACT

Chance constraints yield non-convex feasible regions in general. In particular, when the uncertain parameters are modeled by a Wasserstein ball, arXiv:1806.07418 and arXiv:1809.00210 showed that the distributionally robust (pessimistic) chance constraint admits a mixed-integer conic representation. This paper identifies sufficient conditions that lead to convex feasible regions of chance constraints with Wasserstein ambiguity. First, when uncertainty arises from the right-hand side of a pessimistic joint chance constraint, we show that the ensuing feasible region is convex if the Wasserstein ball is centered around a log-concave distribution (or, more generally, an $α$-concave distribution with $α\geq -1$). In addition, we propose a block coordinate ascent algorithm and prove its convergence to global optimum, as well as the rate of convergence. Second, when uncertainty arises from the left-hand side of a pessimistic two-sided chance constraint, we show the convexity if the Wasserstein ball is centered around an elliptical and star-unimodal distribution. In addition, we propose a family of second-order conic inner approximations, and we bound their approximation error and prove their asymptotic exactness. Furthermore, we extend the convexity results to optimistic chance constraints.

研究动机与目标

• 确定在何种充分条件下，具有 Wasserstein 不确定性的机会约束规划能产生凸可行域，以克服此类问题通常存在的非凸性。
• 将凸性结果扩展至 Wasserstein 不确定性下的悲观与乐观机会约束。
• 为求解由此产生的凸优化问题，开发一种收敛的块坐标上升算法。
• 为当不确定性集以特定分布（高斯分布、对数凹分布、α-凹分布）为中心时的可行域提供锥表示。

提出的方法

• 当不确定性出现在左侧且 Wasserstein 中心为高斯分布时，推导出悲观个体机会约束的凸且锥形表示。
• 证明当 Wasserstein 中心为对数凹或 α-凹分布（α ≥ -1）时，右侧不确定性下悲观联合机会约束的可行域为凸。
• 提出一种用于求解乐观机会约束规划的块坐标上升算法，并证明其全局收敛性。
• 利用对偶性及 Wasserstein 距离的性质，将分布鲁棒机会约束重写为可处理的形式。
• 应用 Moreau-Yosida 正则化与方向导数分析，建立值函数的凸性与连续性。
• 采用 CVaR 重写方法，将乐观机会约束表示为涉及到可行集距离的单一鲁棒约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 Wasserstein 不确定性的机会约束规划会产生凸可行域？
• RQ2 当不确定性影响个体机会约束左侧时，特别是当 Wasserstein 中心为高斯分布时，凸性是否仍能保持？
• RQ3 当 Wasserstein 中心为对数凹或 α-凹分布时，右侧不确定性下的联合机会约束是否保持凸性？
• RQ4 能否为在 Wasserstein 不确定性下的乐观机会约束规划设计一种收敛算法？
• RQ5 这些凸机会约束规划的可行域具有何种锥表示？

主要发现

• 对于左侧不确定性下的个体机会约束，若 Wasserstein 不确定性集以高斯分布为中心，则可行域为凸。
• 对于右侧不确定性下的联合机会约束，若 Wasserstein 中心为对数凹分布或更一般地 α-凹分布（α ≥ -1），则可行域为凸。
• 本文为悲观情形提供了混合整数锥表示，扩展了 Xie（2019）和 Chen 等人（2018）的先前工作。
• 提出了一种用于乐观机会约束的块坐标上升算法，并证明其可全局收敛至最优解。
• 乐观机会约束被重写为涉及到可行集距离的 CVaR 的单一鲁棒约束，从而实现高效求解。
• 证明了值函数的方向导数具有连续性与正齐次性，支持了凸性分析。