[论文解读] Convex cocompact actions in real projective geometry

Jeffrey Danciger, François Guéritaud+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology被引用 12

一句话总结

本文引入并刻画了 PGL(ℝⁿ) 的离散子群在实射影空间上作用的凸共轭紧（convex cocompact）作用，证明此类作用等价于 P₁-Anosov 表示，也等价于 Crampon–Marquis 定义的更强形式的凸共轭紧性。该研究表明，尽管这些群未必是词超曲的，但其仍继承了类经典凸共轭紧子群在秩一情形下的关键几何与动力学性质，并为高阶射影几何中的 Anosov 表示提供了自然的凸几何结构。

ABSTRACT

We study a notion of convex cocompactness for discrete subgroups of the projective general linear group acting (not necessarily irreducibly) on real projective space, and give various characterizations. A convex cocompact group in this sense need not be word hyperbolic, but we show that it still has some of the good properties of classical convex cocompact subgroups in rank-one Lie groups. Extending our earlier work arXiv:1701.09136 from the context of projective orthogonal groups, we show that for word hyperbolic groups preserving a properly convex open set in projective space, the above general notion of convex cocompactness is equivalent to a stronger convex cocompactness condition studied by Crampon-Marquis, and also to the condition that the natural inclusion be a projective Anosov representation. We investigate examples.

研究动机与目标

• 为 PGL(ℝⁿ) 的离散子群在实射影空间 ℙ(ℝⁿ) 上的作用定义并刻画凸共轭紧性，将经典概念从秩一李群推广至更广范围。
• 建立新定义的凸共轭紧性条件与 Crampon–Marquis 所定义的更强形式的凸共轭紧性条件之间的等价性，适用于保持一个恰当凸开集的词超曲群。
• 证明对于此类群，新定义的凸共轭紧性条件等价于 P₁-Anosov 表示条件。
• 通过构造极限 Hilbert 球与射影空间中的几何模型等例子，分析关键估计的紧致性，以说明其最优性。
• 为高阶射影几何中的 Anosov 表示提供一个几何框架，将其与凸基本域联系起来。

提出的方法

• 引入近似极限集 ΛΓ ⊂ ℙ(ℝⁿ) 作为群 Γ 中近似元素的吸引不动点的闭包。
• 定义对偶近似极限集 ΛΓ* ⊂ ℙ((ℝⁿ)*) 为支撑超平面的集合，并考虑补集 ℙ(ℝⁿ) \bigcup_{H∈ΛΓ*} H，其连通分支为凸开集。
• 证明若 Γ 作用不可约，则这些分支为恰当凸集，并利用其几何结构通过在极限集凸包上群作用的共轭紧性来定义凸共轭紧性。
• 应用 Anosov 表示理论，特别是 P₁-Anosov 表示理论，证明在词超曲性条件下，Anosov 条件与凸共轭紧性等价。
• 利用退化凸区域中 Hilbert 球的几何极限，推导出轨道 Hausdorff 极限的紧致估计，证明某些界值的最优性。
• 在仿射坐标系中进行显式坐标计算，分析群作用下球的行为，特别是在退化极限情形（如以正方形为底的锥体模型）下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PGL(ℝⁿ) 的离散子群在 ℙ(ℝⁿ) 上的作用在新几何意义下是凸共轭紧的？
• RQ2 该新凸共轭紧性条件与经典 P₁-Anosov 表示条件有何关系？
• RQ3 能否通过群在恰当凸区域上的作用，几何地刻画凸共轭紧性？
• RQ4 在退化凸几何中，Hilbert 球在群作用下的渐近行为的最优性如何？
• RQ5 在高阶射影几何中，Anosov 表示是否自然地关联于凸几何结构？

主要发现

• 对于保持 ℙ(ℝⁿ) 中恰当凸开集的词超曲群，新定义的凸共轭紧性条件等价于 P₁-Anosov 表示条件。
• 对于此类群，新定义的凸共轭紧性条件等价于 Crampon–Marquis 所定义的更强形式的凸共轭紧性条件。
• 本文构造了一个显式例子，表明在轨道上半径为 R 的球的 Hausdorff 极限中，不包含以极限点为中心、半径 R' > fD(R) 的球，从而证明函数 fD(R) 是最优的。
• 函数 fD(R) = (1/2) log(1 + (e²ᴿ − 1)/e²ᴰ) 作为 Hilbert 球在极限中包含的紧致阈值，由凸区域的几何极限推导得出。
• 当 p → ∞ 且 ε → 0 时，区域 Ωε,p 收敛于以正方形为底的锥体 Ω∞，且 γₚᵐ·B(x₀,R) 的 Hausdorff 极限在轴线上任意接近于长度为 2s 的线段，其中 s = (1 + e²ᴰ⁻ᴿ/sinh(R))⁻¹。
• 本文证明凸共轭紧性蕴含存在一个凸基本域，群在该域上作用共轭紧，从而将经典结果推广至高阶射影几何。