[论文解读] Convex computation of the region of attraction of polynomial control systems

Didier Henrion, Milan Korda|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文提出一种凸优化方法，通过将问题表述为关于时变测度的无限维线性规划（LP），计算具有半代数约束的多项式控制系统的吸引域（ROA）。利用一组有限维线性矩阵不等式（LMIs）的层次结构，该方法提供了渐近收敛的外部近似，且保守性逐渐消失，为传统双侧李雅普诺夫方法（常导致非凸或保守条件）提供了一种原始、凸的替代方案。

ABSTRACT

We address the long-standing problem of computing the region of attraction (ROA) of a target set (e.g., a neighborhood of an equilibrium point) of a controlled nonlinear system with polynomial dynamics and semialgebraic state and input constraints. We show that the ROA can be computed by solving an infinite-dimensional convex linear programming (LP) problem over the space of measures. In turn, this problem can be solved approximately via a classical converging hierarchy of convex finite-dimensional linear matrix inequalities (LMIs). Our approach is genuinely primal in the sense that convexity of the problem of computing the ROA is an outcome of optimizing directly over system trajectories. The dual infinite-dimensional LP on nonnegative continuous functions (approximated by polynomial sum-of-squares) allows us to generate a hierarchy of semialgebraic outer approximations of the ROA at the price of solving a sequence of LMI problems with asymptotically vanishing conservatism. This sharply contrasts with the existing literature which follows an exclusively dual Lyapunov approach yielding either nonconvex bilinear matrix inequalities or conservative LMI conditions. The approach is simple and readily applicable as the outer approximations are the outcome of a single semidefinite program with no additional data required besides the problem description.

研究动机与目标

• 解决长期存在的难题：计算具有状态和输入约束的非线性多项式控制系统的吸引域（ROA）。
• 开发一种避免现有双侧李雅普诺夫方法固有保守性和非凸性的凸、原始的ROA计算问题公式化方法。
• 通过LMIs层次结构构建计算上可行的框架，生成ROA的半代数外部近似。
• 确保近似结果在不依赖系统描述之外的额外数据下，渐近收敛于真实ROA。
• 通过公开可用的软件实现，支持标准半定规划（SDP）求解器求解LMIs松弛问题，实现实际应用。

提出的方法

• 将ROA计算问题表述为在非负Borel测度空间上的无限维线性规划（LP），特别地，使用表示系统轨迹的时变测度。
• 利用矩理论和平方和（SOS）方法，将非负连续函数上的对偶无限维LP近似为多项式SOS函数。
• 通过将矩矩阵和局部化矩阵约束松弛为有限维线性矩阵不等式（LMIs），构建LMIs的层次结构，实现ROA的渐近收敛外部近似。
• 通过利用强对偶性和矩矩阵构造的满列秩，确保凸性和收敛性，从而在弱假设下保证零对偶间隙。
• 通过标准半定规划（SDP）求解器实现该方法，仅需系统动力学和约束集作为输入。
• 通过逐阶求解单个LMIs，生成嵌套的、半代数的ROA外部近似，且随着阶数增加，精度不断提高。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种凸的、原始的公式化方法计算多项式控制系统的吸引域，从而避免传统双侧李雅普诺夫方法的保守性？
• RQ2 是否可以将ROA计算表述为关于时变测度的无限维线性规划，从而实现有限维LMIs松弛的收敛层次结构？
• RQ3 如何利用多项式优化技术生成ROA的半代数外部近似，且保守性渐近消失？
• RQ4 矩矩阵和局部化矩阵在构建收敛于真实ROA的LMIs松弛层次结构中起什么作用？
• RQ5 所提出的方法能否通过标准SDP求解器高效实现，而无需额外的问题特定数据或迭代优化？

主要发现

• 具有半代数约束的多项式控制系统的吸引域（ROA）可通过关于时变测度的凸无限维线性规划（LP）进行计算。
• 无限维LP公式化具有原始性质，直接在系统轨迹上进行优化，从而确保ROA计算问题的凸性。
• 有限维线性矩阵不等式（LMIs）的层次结构可提供渐近收敛、嵌套的、半代数的ROA外部近似，且保守性逐渐消失。
• 由于矩矩阵构造的满列秩，该方法实现了强对偶性，零对偶间隙，从而确保LMIs松弛的可靠收敛。
• 该方法计算上可行，仅需系统动力学和约束集作为输入，可使用标准半定规划（SDP）求解器实现，便于实际部署。
• 所提出的框架与现有依赖非凸双线性矩阵不等式（BMIs）或保守LMIs条件的方法形成鲜明对比，提供了一种更可靠、更系统化的替代方案。