[论文解读] Convex decompositions of point sets in the plane

Toshinori Sakai, Jorge Urrutia|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了平面中处于一般位置的 n 个点集的凸多边形分解所需最少凸多边形数的新上界，证明了至多需要 $\frac{4}{3}|I(P)| + \frac{1}{3}|B(P)| + 1$ 个凸多边形，其中 $I(P)$ 和 $B(P)$ 分别为内点集与凸包点集。该结果改进了先前的上界，并确立了 $U(n) \leq \frac{4}{3}n - 2$，确认了点集凸分解的更紧致渐近上界。

ABSTRACT

Let $P$ be a set of $n$ points in general position on the plane. A set of closed convex polygons with vertices in $P$, and with pairwise disjoint interiors is called a convex decomposition of $P$ if their union is the convex hull of $P$, and no point of $P$ lies in the interior of the polygons. We show that there is a convex decomposition of $P$ with at most $\frac{4}{3}|I(P)|+\frac{1}{3}|B(P)|+1\le \frac{4}{3}|P|-2$ elements, where $B(P)\subseteq P$ is the set of points at the vertices of the convex hull of $P$, and $I(P)=P-B(P)$.

研究动机与目标

• 建立平面中处于一般位置的 n 个点集的凸多边形分解所需最少凸多边形数的更紧致上界。
• 基于内点数 $|I(P)|$ 和凸包点数 $|B(P)|$ 而非仅 $n$ 来细化上界。
• 通过提供更强且可证明的上界，解决 Urrutia 长期以来的猜想 $U(n) \leq n+1$。
• 改进现有上界，如 $\frac{10n-18}{7}$ 和 $\left\lceil\frac{7}{5}(n-3)\right\rceil+1$。
• 使用基于凸包结构与点位置的几何分解技术，提供一种构造性归纳证明。

提出的方法

• 作者对点数 $n = |P|$ 使用数学归纳法，直接处理 $n=3$、$i=1$ 和 $i=2$ 的基础情况。
• 根据由三个连续凸包顶点构成的三角形内部是否为空或包含其他点，对配置进行分类。
• 在无此类三角形为空的情况下，定义角域 $A(p_j; q_j, p_{j-1})$，并利用几何引理证明某些区域不包含其他点。
• 定义辅助集 $Q_j = \{q_j, q_j^\prime\}$，结合 $I(P)$ 的凸多边形分解与凸包三角形，构建完整的分解。
• 基于 $\text{Int}(\triangle q_j q_{j+1} q_{j+2}) \cap P = \emptyset$ 的情况分析，利用几何约束合并多边形以减少总数。
• 在移除点后的子集（如 $P - \{p_j\}$、$P - \{p_j, p_{j+1}\}$）上应用归纳假设，并证明所得分解仍满足给定上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定内点数与凸包点数的前提下，平面中处于一般位置的 n 个点集的凸多边形分解所需最少凸多边形数是多少？
• RQ2 能否通过更紧致的解析上界改进 Urrutia 的猜想 $U(n) \leq n+1$？
• RQ3 凸包结构与内点分布如何影响凸多边形分解的复杂度？
• RQ4 能否使用构造性归纳方法构建达到新上界的凸多边形分解？
• RQ5 哪些几何性质可确保某些多边形在不违反凸性或内部不相交条件的前提下被合并？

主要发现

• 本文确立了点集 $P$ 的凸多边形分解中所需最少凸多边形数的上界 $u(P) \leq \frac{4}{3}|I(P)| + \frac{1}{3}|B(P)| + 1$。
• 该上界意味着 $U(n) \leq \frac{4}{3}n - 2$，优于先前的上界如 $\frac{10n-18}{7}$ 和 $\left\lceil\frac{7}{5}(n-3)\right\rceil+1$。
• 当 $n=3$ 时，上界给出 $u(P) \leq 2$，此结果有效，因为仅需一个三角形。
• 当 $|I(P)| = 1$ 时，上界给出 $u(P) \leq \frac{4}{3} + \frac{1}{3}b + 1$，实际值 $u(P) = 3$ 满足该不等式。
• 当 $|I(P)| = 2$ 时，上界给出 $u(P) \leq \frac{8}{3} + \frac{1}{3}b + 1$，而 $u(P) = 4$ 满足该不等式。
• 在最复杂情形下，即所有由三个连续凸包顶点构成的三角形均包含内点时，该方法将 $u(I(P))$ 个内点多边形与 $b$ 个凸包三角形结合，得到 $u(P) < \frac{4}{3}|I(P)| + \frac{1}{3}|B(P)| + 1$。