[论文解读] Convex Equipartitions via Equivariant Obstruction Theory

Pavle V. M. Blagojević, Günter M. Ziegler|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文通過使用等變阻礙理論證明某類等變映射的不存在性，解決了 n 為質數冪時的 Nandakumar-Ramana Rao 猜想。它構造了配置空間 F(ℝᵈ,n) 的一個正則胞腔複形模型，顯示 𝔖ₙ-等變映射到球面 S(Wₙ⊕(d−1)) 存在當且僅當 n 不是質數冪，從而確立了當 n 為質數冪時，每個凸 d 維體均可被分割為 n 個體積與表面積相等的凸部分。

ABSTRACT

We describe a regular cell complex model for the configuration space F(\R^d,n). Based on this, we use Equivariant Obstruction Theory to prove the prime power case of the conjecture by Nandakumar and Ramana Rao that every polygon can be partitioned into n convex parts of equal area and perimeter.

研究动机与目标

• 解決 Nandakumar-Ramana Rao 對多邊形分割為 n 個面積與周長相等部分的凸等分猜想。
• 建立 F(ℝ²,n) 到 S(Wₙ) 的 𝔖ₙ-等變映射在質數冪 n 時不存在的證明。
• 發展 F(ℝᵈ,n) 的正則胞腔複形模型，使其成為 𝔖ₙ-等變的強形變收縮。
• 應用等變阻礙理論，證明此類映射存在當且僅當 n 不是質數冪。
• 利用等變上同調將 Borsuk–Ulam 型定理推廣至任意階循環群。

提出的方法

• 構造一個維度為 (d−1)(n−1) 的正則 𝔖ₙ-等變胞腔複形模型 𝔛(d,n)，其強形變收縮至 F(ℝᵈ,n)。
• 使用 Fadell–Husseini 指標與等變上同調分析 F(ℝᵈ,n) 到 S(Wₙ⊕(d−1)) 的 𝔖ₙ-等變映射存在的阻礙。
• 應用 Dold 對自由群作用的定理，證明 (d−1)(n−1)-連通的自由 ℤ/nℤ-空間無法容許映射至 (d−1)(n−1)-維的自由 ℤ/nℤ-空間。
• 運用轉移與 Sylow 子群論證，將不存在性結果加強至 𝔖ₙ 的 p-Sylow 子群。
• 利用當 n 為質數冪時，束 Wₙ → F(ℝᵈ,n) ×_{𝔖ₙ} Wₙ → F(ℝᵈ,n)/𝔖ₙ 的最高 Stiefel–Whitney 類非平凡的事實。
• 使用 Borel–Moore 上同調與閉支集上同調，在 n = pᵏ 時計算 H^{M}_{𝔖ₙ}(𝔛(d,n); π_{M−1}(S(Wₙ⊕(d−1)))) 的阻礙類，係數為 ℤ/pℤ。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於所有 n ≥ 2，是否存在 F(ℝ²,n) 到 S(Wₙ) 的 𝔖ₙ-等變映射？
• RQ2 Nandakumar-Ramana Rao 對等面積與等周長分割的猜想在哪些 n 值下成立？
• RQ3 能否透過阻礙理論確立在質數冪 n 時，到 S(Wₙ⊕(d−1)) 的等變映射不存在？
• RQ4 胞腔複形模型 𝔛(d,n) 是否為 F(ℝᵈ,n) 的強形變收縮，且具有相同的等變同倫型？
• RQ5 Borsuk–Ulam 型定理能否從質數階循環群推廣至任意階循環群？

主要发现

• F(ℝᵈ,n) 到 S(Wₙ⊕(d−1)) 的 𝔖ₙ-等變映射存在當且僅當 n 不是質數冪。
• 當 n = pᵏ 為質數冪時，最高等變上同調群 H^{M}_{𝔖ₙ}(𝔛(d,n); π_{M−1}(S(Wₙ⊕(d−1)))) 同構於 ℤ/pℤ，否則為平凡。
• 胞腔複形 𝔛(d,n) 是一個具有 n! 個頂點與 n! 個面的正則 𝔖ₙ-等變 (d−1)(n−1)-維 CW 複形。
• 當 n = pᵏ 為質數冪時，不存在到 S(Wₙ⊕(d−1)) 的 𝔖ₙ-等變映射，且此結果對 𝔖ₙ 的 p-Sylow 子群亦成立。
• 此結果意味著當 n 為質數冪時，每個凸 d 維體均可被分割為 n 個體積與表面積相等的凸部分。
• 證明了一個推廣的 Borsuk–Ulam 定理：若 X 為自由的 (d−1)(n−1)-連通 ℤ/nℤ-空間，且 f: X → ℝᵈ 為連續映射，則存在 x 與 a ≠ 0 in ℤ/nℤ 使得 f(x) = f(a·x)。