[论文解读] Convex expansion for finite distributive lattices with applications

Xu Wang, Xuxu Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文引入了有限分配格中“切割”的概念，提出一种新颖的凸展开方法，该方法推广了以往的构造。通过利用有限分配格的基本定理，作者推导出秩生成函数，枚举凸布尔子格及特定元素，并通过交集不可约偏序集中的反链结构验证多面体的广义欧拉公式。

ABSTRACT

The concept of cutting is first explicitly introduced. By the concept, a convex expansion for finite distributive lattices is considered. Thus, a more general method for drawing the Hasse diagram is given, and the rank generating function of a finite distributive lattice is obtained. In addition, we have several enumerative properties on finite distributive lattices and verify the generalized Euler formula for polyhedrons.

研究动机与目标

• 通过引入‘切割’这一新概念，形式化并推广有限分配格中凸展开的概念。
• 为滤子格及相关结构的哈斯图构造提供统一方法。
• 推导有限分配格的秩生成函数，并枚举凸布尔子格及特定元素。
• 通过将凸布尔子格与交集不可约偏序集中的反链联系起来，验证多面体的广义欧拉公式。

提出的方法

• 将‘切割’定义为一种凸子格，其与每个极大链相交，并通过有限分配格基本定理提供两种等价刻画。
• 通过在与 $ L = \mathcal{F}(P) $ 关联的偏序集 $ P $ 中添加一个新元素 $ x_K $，定义凸展开运算 $ L \boxplus K $，该元素与 $ \hat{0}_K $ 以下的最大元素集 $ S_0 $ 及 $ \hat{1}_K $ 以上的最小元素集 $ S_1 $ 相连。
• 建立格分解 $ L = \uparrow\hat{0}_K \cup \downarrow\hat{1}_K $、切割条件与存在元素 $ x_K $ 使得 $ S = P_K * x_K $ 之间的等价性。
• 利用偏序集扩展，通过二项式变换推导给定次数元素数量及凸布尔子格数量的递推关系。
• 将该框架应用于斐波那契立方与卢卡斯立方，推导其秩生成函数与枚举不变量的递推关系。
• 通过证明 $ Q_L(-1) = 1 $ 验证广义欧拉公式 $ \chi = 1 $，其中 $ Q_L(x) $ 为秩生成函数，并将其与交集不可约元素的数量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限分配格的凸展开如何超越以往构造进行推广？
• RQ2 ‘切割’在有限分配格中的精确代数与组合刻画是什么？
• RQ3 秩生成函数与凸布尔子格数量如何反映交集不可约偏序集的结构？
• RQ4 能否通过格论不变量验证多面体的广义欧拉公式？

主要发现

• 本文证明：子格 $ K $ 是 $ L $ 的切割当且仅当 $ L = \uparrow\hat{0}_K \cup \downarrow\hat{1}_K $，或等价地，对所有 $ z \in S_0 $、$ y \in S_1 $，有 $ z < y $，其中 $ S_0 $ 与 $ S_1 $ 由满足 $ L = \mathcal{F}(P) $ 的偏序集 $ P $ 定义。
• 凸展开 $ L \boxplus K $ 通过在偏序集 $ P $ 中添加新元素 $ x_K $ 构造，该元素覆盖 $ S_0 $ 中所有元素且被 $ S_1 $ 中所有元素覆盖，从而生成具有明确定义哈斯图的新格。
• 格 $ L $ 的凸布尔子格数量，记为 $ q_k(L) $，满足 $ q_k(L) = \sum_{j=k}^{m} \binom{j}{k} d_j^{-}(L) $，其中 $ d_j^{-}(L) $ 表示 $ \mathop{\mathrm{Mi}}(L) $ 中大小为 $ j $ 的极大反链数量。
• 秩生成函数 $ Q_L(x) $ 满足 $ Q_L(x) = D_L^{-}(1+x) $，其中 $ D_L^{-}(x) $ 是 $ \mathop{\mathrm{Mi}}(L) $ 中各尺寸极大反链数量的生成函数。
• 通过 $ Q_L(-1) = 1 $ 验证广义欧拉公式 $ \chi = 1 $，该式成立是因为 $ D_L^{-}(0) = 1 $，对应于格中唯一的最小元素。
• 对于斐波那契立方 $ \Gamma_n $ 与卢卡斯立方 $ \Lambda_{2n} $，本文推导出递推关系：$ F_{m+n} = F_m F_{n+1} + F_{m-1} F_n $ 与 $ L_{2n} = F_{2n+1} + F_{2n-1} $，分别成立。