[论文解读] Convex Forms that are not Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文通过轨道体对偶体截面的体积估计以及非负形式与平方和之间的对偶性，证明了存在不是平方和的凸形式。通过表明在固定次数下，凸形式的锥体相对于平方和的锥体在渐近意义上更大，本文确立了凸形式严格包含平方和，尽管未构造出显式例子。

ABSTRACT

An orbitope is the convex hull of an orbit of a point under the action of a compact group. We derive bounds on volumes of sections of polar bodies of orbitopes, extending our previously developed methods. As an application we realize the cone of convex forms as a section of the cone of nonnegative bi-homogeneous forms and estimate its volume. A convex form has to be nonnegative, but it has not been previously shown that there exist convex forms that are not sums of squares. Combining with the known bounds we show that if the degree is fixed then the cone of convex forms has asymptotically same size as the cone of nonnegative forms and it is significantly larger asymptotically than the cone of sums of squares. This implies existence of convex forms that are not sums of squares, although there are still no known examples.

研究动机与目标

• 证明存在非负但不能表示为平方和的凸形式。
• 分析凸形式、非负形式与平方和锥体在渐近相对大小关系。
• 利用群表示理论与函数范数，推导轨道体极体截面的体积界。
• 利用非负形式与平方和之间的对偶性，比较其几何大小。
• 证明在固定次数下，凸形式锥体渐近大于平方和锥体，从而表明存在非平凡包含关系。

提出的方法

• 使用轨道体（即紧致群作用下群轨道的凸包）来建模对称凸集，特别是 SO(n)。
• 应用对偶性，将轨道体的对偶与非负双齐次形式的锥体联系起来。
• 利用线性泛函的 L∞ 与 L2k 范数之间的不等式，推导对偶轨道体截面的体积界。
• 利用表示理论，通过稳定子对称性，界定群轨道张量幂的维数。
• 在球面上应用调和分析与斯托克斯公式，估计形式的梯度与拉普拉斯算子的 L2 范数。
• 利用齐次多项式空间上的内积结构，比较 Hessian 矩阵的希尔伯特-施密特范数与 L2 范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不能表示为平方和的凸形式？
• RQ2 随着变量数增加，凸形式、非负形式与平方和锥体的渐近体积如何比较？
• RQ3 能否利用轨道体对偶体截面的体积估计，推断形式锥体之间的几何包含关系？
• RQ4 群对称性（如稳定子）在减小轨道向量张量幂维数方面起什么作用？
• RQ5 在固定次数下，高维空间中凸形式锥体是否严格大于平方和锥体？

主要发现

• 在固定次数下，凸形式锥体渐近大于平方和锥体，从而表明存在不是平方和的凸形式。
• 对偶轨道体截面的体积界表明，凸锥体的相对大小与非负锥体在渐近意义下一致。
• 利用不等式 ||l||∞ ≤ αk||l||2k 推导出截面归一化体积的下界，其中 αk 依赖于 (gv)⊗k 张成空间的维数。
• 对于高对称性形式（如 x₁²ᵈ），张量幂 (gv)⊗k 张成的空间小于完整的对称幂，从而改善体积界。
• 基于 Hessian 的内积 ⟨g,g⟩_H 上界为常数倍的 L2 内积 ⟨g,g⟩₂，常数依赖于次数 d 与维数 n。
• 对于形式 g = (||x||²)^m f（其中 f 为调和函数），其拉普拉斯算子满足在单位球面上 Δg = 2m(n + 4d - 2m - 2)g，从而可进行 L2 范数估计。