[论文解读] Convex Hull of Two Circles in R^3

Evan D. Nash, Ata Firat Pi̇r+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究 ℝ³ 中两个圆的凸包，表明当这两个圆在复射影空间中不相交时，其棱面曲面为八次的非有理直纹面。作者对这些凸包的面格进行了分类，确定了其为谱半定集的条件（仅当两圆位于一个二次锥面上时），并利用射影对偶性分析其结构，纠正了先前认为棱面曲面始终为柱面的错误主张。

ABSTRACT

We describe convex hulls of the simplest compact space curves, reducible quartics consisting of two circles. When the circles do not meet in complex projective space, their algebraic boundary contains an irrational ruled surface of degree eight whose ruling forms a genus one curve. We classify which curves arise, classify the face lattices of the convex hulls, and determine which are spectrahedra. We also discuss an approach to these convex hulls using projective duality.

研究动机与目标

• 根据其几何排列，对 ℝ³ 中两个圆的凸包进行分类。
• 确定两圆对的静止割线的棱面曲面与棱曲线的结构。
• 识别此类凸包在何种几何条件下为谱半定集。
• 纠正 Ranestad 与 Sturmfels (2013) 提出的先前主张，即棱面曲面始终为柱面。
• 应用射影对偶性分析凸包的对偶体，并提取关于暴露面与非暴露面的信息。

提出的方法

• 利用射影对偶性分析凸包的对偶体，其中对偶体的面对应于原凸包的暴露面。
• 应用割线簇与代数边界理论，将棱面曲面描述为 ℝ³ 中的直纹面。
• 将棱曲线分析为两圆锥 C₁ × C₂ 上的双次数 (2,2) 曲线，证明在一般条件下其为约化且不可约的。
• 运用代数几何方法计算棱面曲面的次数，证明当两圆在 ℂℙ³ 中不相交且互不相切于对方所在平面时，其次数为八。
• 利用凸包是谱半定集的投影这一事实，借助线性矩阵表示的存在性。
• 应用 [6] 与 [7] 中的对偶框架，将凸包的对偶体计算为对偶锥的交集，并对边界分量进行几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝ³ 中两个不相交的圆的凸包中，棱面曲面的结构是什么？
• RQ2 在 ℝ³ 中，两个圆的凸包在何种条件下为谱半定集？
• RQ3 在 ℂℙ³ 中，C₁ × C₂ 上的哪些双次数 (2,2) 曲线可作为两圆锥的棱曲线？
• RQ4 射影对偶性如何揭示凸包中暴露面与非暴露面的信息？
• RQ5 为何棱面曲面一般并非柱面，与先前主张相反？

主要发现

• 在 ℂℙ³ 中，两个不相交圆的棱面曲面为八次非有理直纹面，而非先前声称的柱面。
• 静止割线的棱曲线是 C₁ × C₂ 上的双次数 (2,2) 约化曲线，在一般条件下所有此类曲线均出现，除了一个具有尖点的有理曲线与一个极大可约曲线。
• 当且仅当两圆位于同一二次锥面上时，凸包为谱半定集。
• 凸包的对偶体是有界且凸的，其边界编码了暴露面与支撑超平面。
• 非暴露面（如非暴露的静止割线）在对偶体中不明显可见，凸显了对偶性在捕捉非暴露结构方面的局限性。
• 凸包的对偶体是两个对偶锥（或在椭球情况下为对偶椭球）的交集，该交集编码了三切平面、双切棱边以及与原圆相切的平面。