[论文解读] Convex Hull Realizations of the Multiplihedra

Stefan Forcey|ArXiv.org|Jun 22, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种构造性算法，将 $n$ 阶多重多面体实现在欧几里得空间中由显式定义的点的凸包内，从而解决了多重多面体能否被实作为凸多面体的开放问题。关键贡献在于通过着色二叉树与加权坐标实现几何实化，统一了 $A_n$-映射的理论，并建立了凸包与多重多面体结构之间的组合等价性。

ABSTRACT

We present a simple algorithm for determining the extremal points in Euclidean space whose convex hull is the nth polytope in the sequence known as the multiplihedra. This answers the open question of whether the multiplihedra could be realized as convex polytopes. We use this realization to unite the approach to A_n-maps of Iwase and Mimura to that of Boardman and Vogt. We include a review of the appearance of the nth multiplihedron for various n in the studies of higher homotopy commutativity, (weak) n-categories, A_infinity-categories, deformation theory, and moduli spaces. We also include suggestions for the use of our realizations in some of these areas as well as in related studies, including enriched category theory and the graph associahedra.

研究动机与目标

• 解决多重多面体能否被实作为欧几里得空间中凸多面体的开放问题。
• 提供一种显式算法，用于计算构成第 $n$ 个多重多面体凸包的极值点。
• 通过几何实化，统一 Iwase 与 Mimura 的 $A_n$-映射方法与 Boardman 与 Vogt 的方法。
• 建立多重多面体与其他结构（如阿西索希德隆、$A_\infty$-范畴及模空间）之间的组合与几何联系。

提出的方法

• 通过加权坐标与递归构造，定义从着色二叉树到 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中点的映射 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$。
• 利用阿西索希德隆 $\mathcal{K}(s)$ 与多重多面体 $\mathcal{J}(r)$ 的坐标，构建对应于下层与上层树的细化的点的凸包。
• 对 $n$ 进行归纳，证明所有 $n$ 叶着色二叉树 $t$ 对应的点 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$ 的凸包构成一个 $n-2$ 维多面体。
• 证明凸包的每个面片对应于一个下层或上层树的细化，且该面片是相应点的凸包。
• 通过基变换重排坐标，证明下层树 $l(k,s)$ 的细化所构成的多面体组合等价于 $\mathcal{J}(r) \times \mathcal{K}(s)$，而上层树 $u(t,r_1,\dots,r_t)$ 的细化所构成的多面体组合等价于 $\mathcal{K}(t) \times \mathcal{J}(r_1) \times \cdots \times \mathcal{J}(r_t)$。
• 证明整个凸包与着色树空间 $LW\mathcal{U}(n)$ 同胚，从而确认实化具有正确的组合类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 第 $n$ 个多重多面体能否在欧几里得空间中被实作为凸多面体？
• RQ2 哪些极值点的凸包能生成第 $n$ 个多重多面体？
• RQ3 多重多面体的面片如何对应于下层与上层着色树的细化？
• RQ4 多重多面体的几何实化能否统一同伦论中 $A_n$-映射的不同理论方法？
• RQ5 加权点的凸包与着色树的组合结构之间存在何种关系？

主要发现

• 第 $n$ 个多重多面体 $\mathcal{J}(n)$ 被实作为所有 $n$ 叶着色二叉树 $t$ 对应的点 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$ 的凸包，从而解决了凸实化的开放问题。
• 极值点通过基于加权坐标与树细化的递归算法显式构造。
• 凸包的面片与下层树 $l(k,s)$ 和上层树 $u(t,r_1,\dots,r_t)$ 的细化之间存在双射关系，且每个面片即为相应点的凸包。
• 下层树 $l(k,s)$ 的细化所构成的多面体组合等价于 $\mathcal{J}(r) \times \mathcal{K}(s)$，上层树 $u(t,r_1,\dots,r_t)$ 的细化所构成的多面体组合等价于 $\mathcal{K}(t) \times \mathcal{J}(r_1) \times \cdots \times \mathcal{J}(r_t)$，且两者维度均为 $n-2$。
• 整个凸包与着色树空间 $LW\mathcal{U}(n)$ 同胚，确认了其组合类型正确。
• 该实化方法通过共同的几何框架，统一了 Iwase 与 Mimura 的 $A_n$-映射理论与 Boardman 与 Vogt 的理论。