[论文解读] Convex projective generalized Dehn filling

Suhyoung Choi, Gye‐Seon Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文首次构造出在 d=4,5,6 时具有锥点的完备有限体积双曲 d-流形（d-manifolds）的例子，使得无穷多个广义 Dehn 粘合操作可产生允许适当严格凸实射影结构的轨道丛。作者利用 Coxeter 多面体与形变理论，表明这些结构源自 Gromov-双曲相对群，并在射影 d-空间中产生非严格凸的可除区域，将 Dehn 粘合现象从双曲几何扩展至更高维度。

ABSTRACT

For $d=4, 5, 6$, we exhibit the first examples of complete finite volume hyperbolic $d$-manifolds $M$ with cusps such that infinitely many $d$-orbifolds $M_{m}$ obtained from $M$ by generalized Dehn filling admit properly convex real projective structures. The orbifold fundamental groups of $M_m$ are Gromov-hyperbolic relative to a collection of subgroups virtually isomorphic to $\mathbb{Z}^{d-2}$, hence the images of the developing maps of the projective structures on $M_m$ are new examples of divisible properly convex domains of the projective $d$-space which are not strictly convex, in contrast to the previous examples of Benoist.

研究动机与目标

• 将 Dehn 粘合的适用范围从三维双曲流形扩展至更高维度。
• 构造完备有限体积双曲 d-轨道丛（d=4,5,6），其广义 Dehn 粘合后可允许适当严格凸实射影结构。
• 产生射影 d-空间中新的可除非严格凸区域的例子，与 Benoist 的严格凸例子形成对比。
• 证明这些射影结构中 Gromov-双曲性相对于 Z^{d-2} 子群的性质得以保持。
• 建立通过标记 Coxeter 多面体形变空间构造此类结构的框架。

提出的方法

• 构造具有为 π 的子倍数的二面角的双曲 Coxeter d-多面体，以确保离散反射群。
• 通过组合与几何约束定义标记 Coxeter 多面体 G_m^i，以模拟 Dehn 粘合操作。
• 利用形变空间 C(G_m^i) 参数化填充轨道丛 M_m 上的射影结构。
• 分析多面体 P_m 的极限，以验证群作用的适当凸性与余紧性。
• 应用 Coxeter 群与 Lannér 多面体理论，以确保相对双曲性与非退化性。
• 验证发展映射在 RP^d 中产生可除、适当凸但非严格凸的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Dehn 粘合的有限体积双曲 d-轨道丛（d≥4）是否可允许适当凸实射影结构？
• RQ2 此类射影结构是否对无穷多个粘合成立，且在几何上互不相同？
• RQ3 所得到的射影结构是否可产生在 RP^d 中非严格凸的可除凸区域？
• RQ4 填充轨道丛基本群的代数结构为何？其是否为相对于 Z^{d-2} 子群的 Gromov-双曲群？
• RQ5 Coxeter 多面体能否作为构造高维此类射影结构的构造性工具？

主要发现

• 对于 d=4,5,6，作者构造出具有锥点的完备有限体积双曲 d-轨道丛，其广义 Dehn 粘合后可允许适当凸实射影结构。
• 每个流形均存在无穷多个此类粘合，产生基本群相对于 Z^{d-2} 子群为 Gromov-双曲的轨道丛。
• 这些结构的发展映射的像为在 RP^d 中可除、适当凸但非严格凸的区域。
• 该构造依赖于标记 Coxeter 多面体形变空间 C(G_m^i)，其非空且支持离散、余紧作用。
• 这些例子是 d≥4 时射影 d-空间中已知首个可除非严格凸区域。
• 该方法将 Dehn 粘合现象从双曲几何扩展至实射影结构领域。