[论文解读] Convex Relaxations of SE(2) and SE(3) for Visual Pose Estimation

Matanya B. Horowitz, Nikolai Matni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 25被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种在 SE(2) 和 SE(3) 中对姿态估计问题进行凸松弛的方法，利用 SO(2) 和 SO(3) 的凸包的谱单纯形表示，通过半定规划实现全局最优解。该方法在许多实际场景中可实现精确恢复，并通过 ℓ₁ 正则化实现对噪声和异常值的鲁棒性，在准确性上优于传统的 Levenberg-Marquardt 和 PCA 方法，尤其在高噪声条件下表现更优。

ABSTRACT

This paper proposes a new method for rigid body pose estimation based on spectrahedral representations of the tautological orbitopes of $SE(2)$ and $SE(3)$. The approach can use dense point cloud data from stereo vision or an RGB-D sensor (such as the Microsoft Kinect), as well as visual appearance data. The method is a convex relaxation of the classical pose estimation problem, and is based on explicit linear matrix inequality (LMI) representations for the convex hulls of $SE(2)$ and $SE(3)$. Given these representations, the relaxed pose estimation problem can be framed as a robust least squares problem with the optimization variable constrained to these convex sets. Although this formulation is a relaxation of the original problem, numerical experiments indicate that it is indeed exact - i.e. its solution is a member of $SE(2)$ or $SE(3)$ - in many interesting settings. We additionally show that this method is guaranteed to be exact for a large class of pose estimation problems.

研究动机与目标

• 解决局部优化方法在姿态估计中的局限性，如对初始化敏感以及对噪声和异常值的鲁棒性差。
• 为 SE(2) 和 SE(3) 中的刚体变换问题开发一种凸松弛方法，通过半定规划实现全局优化。
• 提供一种避免迭代优化和概率采样（如 RANSAC 或 ICP）的全局最优解框架。
• 在优化公式中引入 ℓ₁ 正则化以增强对异常值的鲁棒性。
• 证明在较弱条件下，该松弛是精确的，即解位于 SE(2) 或 SE(3) 内，从而保证全局最优性。

提出的方法

• 该方法利用 SO(2) 和 SO(3) 的典型轨道单纯形的谱单纯形表示，为 SE(2) 和 SE(3) 的凸包构造显式的线性矩阵不等式（LMI）约束。
• 姿态估计问题被表述为带有变换矩阵约束于 SE(2) 或 SE(3) 凸包的凸鲁棒最小二乘优化问题，可通过半定规划（SDP）求解。
• 引入 ℓ₁ 正则化变体，通过惩罚大残差自动检测并剔除异常值。
• 该方法利用凸代数几何的最新进展，通过 LMI 约束表示旋转群的凸包。
• 该方法使用 CVX 和 SDPT3 实现，可通过自定义 C++ 编码和基于 ADMM 的并行化进一步提升性能。
• 可使用前一帧姿态进行热启动，但非必需，从而在动态跟踪场景中提升鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，SE(2) 或 SE(3) 的凸松弛是精确的，即最优解位于原始群内？
• RQ2 能否通过凸优化框架实现姿态估计的全局最优性，而无需依赖迭代优化或采样方法？
• RQ3 在不同噪声水平下，该方法与 Levenberg-Marquardt 和 PCA 等先进方法相比，在准确性和鲁棒性方面表现如何？
• RQ4 优化中 ℓ₁ 正则化在多大程度上能自动检测并剔除视觉姿态估计中的异常值？
• RQ5 该方法的计算开销如何？如何通过优化实现实时部署？

主要发现

• 所提方法在姿态估计准确性上始终优于 Levenberg-Marquardt 和 PCA，尤其在高噪声条件下，基于轨道单纯形的解在 N=944 个点、δ=0.1 噪声的试验中，误差仅为 Levenberg-Marquardt 的 23% 至 95%。
• 在许多实际场景中，该松弛是精确的，即最优解位于 SE(2) 或 SE(3) 内，从而保证了全局最优性。
• 对于鲁棒变体，当 λ=0.1 时误差残差为 e=0.7825，而 PCA 的误差为 e=25.3098，表明其具有强大的异常值剔除能力。
• 该方法能正确识别出人工引入的异常值（如移位的耳朵），并将其视为伪点，即使在引入异常值后仍能保持低误差。
• 在 1.7GHz 的 Macbook Air 上，轨道单纯形方法的执行时间为 130ms，慢于 Levenberg-Marquardt 的 25ms，但可通过 ADMM 和自定义实现进一步优化。
• 该方法对噪声和异常值具有鲁棒性，即使将异常值移离模型更远，性能下降也极小，表明其在扰动下具有稳定性。