[论文解读] Convex Relaxations with Second Order Cone Constraints for Nonconvex Quadratically Constrained Quadratic Programming

Rujun Jiang, Duan Li|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的凸松弛方法，用于非凸二次约束二次规划（QCQP），通过构建有效的二阶锥（SOC）约束，并将其与线性约束的乘积线性化，以收紧松弛。该方法通过强化有效不等式，减少了对偶间隙，提升了解的质量，数值实验已验证其有效性。

ABSTRACT

In this paper, we present new convex relaxations for nonconvex quadratically constrained quadratic programming (QCQP) problems. Since the basic semidefinite programming relaxation is often too loose for general QCQP, recent research has focused on strengthening convex relaxations using valid linear or second order cone (SOC) inequalities. In this paper, we con- struct valid second order cone constraints for nonconvex QCQP and reduce the duality gap using these valid constraints. Specifically, we decompose and relax the nonconvex constraints to two SOC constraints and then linearize the products of the SOC constraints and linear constraints to achieve some new valid constraints. Moreover, we introduce and generalize two recent tech- niques for generating valid inequalities to further enhance our method. We demonstrate the efficiency of our results with numerical experiments.

研究动机与目标

• 通过开发更紧致的凸松弛来解决标准半定规划松弛在非凸QCQP中的不足。
• 通过引入有效的二阶锥（SOC）约束，加强非凸QCQP中的松弛间隙。
• 通过线性化SOC约束与线性约束的乘积，提升凸松弛的质量。
• 将近期生成有效不等式的技巧推广，以增强松弛强度。
• 通过数值实验实证验证所提松弛方法的有效性。

提出的方法

• 该方法将非凸QCQP约束分解为两个二阶锥（SOC）约束，以实现凸松弛。
• 通过线性化SOC约束与线性约束的乘积，构建新的有效不等式。
• 该方法整合并推广了两种近期生成有效不等式的技巧，以进一步收紧松弛。
• 将松弛表述为带有附加SOC和线性约束的凸优化问题，以提高紧致性。
• 该方法利用对偶理论，减少原始非凸问题与其凸松弛之间的对偶间隙。
• 通过数值实验评估所提松弛的性能与紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效构建二阶锥约束，以加强非凸QCQP的凸松弛？
• RQ2 线性化SOC约束与线性约束的乘积在何种方式下能提升松弛的紧致性？
• RQ3 所提出的有效不等式与现有不等式相比，在减小对偶间隙方面表现如何？
• RQ4 用于生成有效不等式的推广技巧在多大程度上提升了松弛质量？
• RQ5 所提松弛方法在基准QCQP实例上的实证性能如何？

主要发现

• 所提方法通过引入有效的二阶锥约束，成功减小了非凸QCQP中的对偶间隙。
• 线性化SOC约束与线性约束的乘积可生成新的有效不等式，从而收紧松弛。
• 与标准半定规划松弛相比，该方法提供了更紧致且计算更高效的松弛。
• 用于生成有效不等式的推广技巧显著增强了松弛强度与更紧的边界。
• 数值实验证实了所提松弛方法在测试实例上的高效性与有效性。
• 与基线凸松弛相比，该方法在非凸QCQP中表现出更优的解质量。