[论文解读] Convex sets with homothetic projections

Valeriu Soltan|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文证明了在ℝⁿ中，紧致或闭的凸集是位似形的，当且仅当它们在每一个m维子空间（当2 ≤ m ≤ n−1时，或对无界集为3 ≤ m ≤ n−1时）上的正交投影是位似形的，且位似比可随投影平面变化。证明依赖于Straszewicz关于暴露点定理的改进版本，并同时处理正负位似，将Süss和Hadwiger的经典结果推广至完整的位似群。

ABSTRACT

Extending results of Suss and Hadwiger (proved by them for the case of convex bodies and positive ratios), we show that compact (respectively, closed) convex sets in the Euclidean space of dimension n are homothetic provided for any given integer m between 2 and n - 1 (respectively, between 3 and n - 1), the orthogonal projections of the sets on every m-dimensional plane are homothetic, where homothety ratio and its sign may depend on the projection plane. The proof uses a refined version of Straszewicz's theorem on exposed points of compact convex sets.

研究动机与目标

• 将Süss和Hadwiger关于正位似的结果推广至ℝⁿ中完整的位似群（包括负比值）。
• 确定保证紧致或闭凸集位似性的投影子空间的最小维数m。
• 通过构造一个反例，解决无界凸集情况下m ≥ 3条件的紧致性，即存在2维投影为位似形但集合本身非位似形的情况。
• 建立主定理的相对版本，表明当所有包含某一固定r维子空间的m平面投影为位似形时，原集合也位似。

提出的方法

• 使用Straszewicz定理的改进版本，即紧致凸集是其暴露点的闭凸包。
• 通过分析凸集的线性子空间和退化锥，证明若在m平面的投影为位似形，则原集合必须具有相同的线性子空间。
• 将问题约化为两个集合均无线性子空间的情形，通过沿其公共线性子空间进行分解。
• 在维数≥ m ≥ 3的子空间中使用投影几何，证明：若所有包含某条固定直线的m平面投影为位似形，则原集合也位似。
• 通过分析退化锥的对称性，并应用[13]中关于高维位似性的已知结果，区分投影中的正负位似。
• 通过中间投影的传递性论证：若在更大子空间上的投影为位似形，则其在所有低维子空间（如2D或3D）上的投影也必为位似形，从而可应用定理1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，ℝⁿ中两个紧致或闭凸集的m维投影为位似形，可保证其本身为位似形（包括负位似比）？
• RQ2 对无界凸集而言，m ≥ 3的条件是否紧致？m = 2是否可能足够？
• RQ3 当所有包含某一固定r维子空间的m平面投影为位似形时，是否能推出原集合的全局位似性？
• RQ4 暴露点和退化锥的行为如何影响投影中位似比的连续性与结构？
• RQ5 经典Süss和Hadwiger定理在多大程度上可推广至包含负位似比的情形？

主要发现

• 对于ℝⁿ中的紧致凸集，K₁与K₂是位似形当且仅当它们在每一个m维子空间（2 ≤ m ≤ n−1）上的正交投影是位似形，且位似比可依赖于投影平面。
• 对于闭（可能无界的）凸集，若m ≥ 3，则相同的等价关系成立，表明在无界情况下m = 2不充分。
• 在ℝ³中两个非位似形的抛物面的例子表明，2维投影可为正位似形，但集合本身并非位似形，从而证明对无界集而言m ≥ 3是紧致的。
• K₁与K₂的线性子空间必须一致，否则在某些m平面上投影的位似性将被破坏。
• 当集合沿其公共线性子空间分解后，问题可约化为无线性子空间的情形，此时应用暴露点理论与投影几何。
• 定理的相对版本（推论1）表明：若所有包含固定r维子空间的m平面投影为位似形，则原集合为位似形，将结果推广至受限投影族。