[论文解读] Convex Spaces I: Definition and Examples

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用 24

一句话总结

本文引入了一种凸空间的范畴框架，将其定义为通过满足相容性条件的二元运算族实现一致凸组合的集合。该框架统一了概率性（几何）与可能性（组合）结构——如向量空间中的凸子集与交半格——表明凸空间同时推广了这两种结构，其例子包括纤维丛在半格上的混合类型结构。

ABSTRACT

We propose an abstract definition of convex spaces as sets where one can take convex combinations in a consistent way. A priori, a convex space is an algebra over a finitary version of the Giry monad. We identify the corresponding Lawvere theory as the category from arXiv:0902.2554 and use the results obtained there to extract a concrete definition of convex space in terms of a family of binary operations satisfying certain compatibility conditions. After giving an extensive list of examples of convex sets as they appear throughout mathematics and theoretical physics, we find that there also exist convex spaces that cannot be embedded into a vector space: semilattices are a class of examples of purely combinatorial type. In an information-theoretic interpretation, convex subsets of vector spaces are probabilistic, while semilattices are possibilistic. Convex spaces unify these two concepts.

研究动机与目标

• 以独立于向量空间嵌入的方式，抽象地定义凸空间。
• 在单一框架下统一向量空间中的概率性凸集（几何）与半格等可能性结构（组合）。
• 利用Lawvere理论与单子（monads）为凸组合提供范畴基础。
• 证明凸空间包含非几何的离散结构，如半格。
• 通过几何、组合学与理论物理中的多样化例子，阐明该框架。

提出的方法

• 通过满足结合律、交换律及单位运算一致性的二元运算族定义凸空间。
• 利用[Fri09]中的Lawvere理论，从范畴代数推导公理。
• 将凸空间表征为Giry单子的有限型版本的代数。
• 将混合类型凸空间构造为半格上的纤维丛，其中纤维之间存在凸映射。
• 通过从偏序集S到凸空间的函子，引入一般构造Sf ⋉C·以处理混合类型空间。
• 将该框架应用于例如凸子集的凸集、具有主观概率的彩票，以及含无穷远点的空间等例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖向量空间的前提下，抽象地定义凸组合？
• RQ2 除向量空间中的凸子集外，还有哪些数学结构满足凸空间的公理？
• RQ3 在单一框架下，概率性（几何）与可能性（组合）结构之间有何关系？
• RQ4 凸空间能否被分解为更简单的组成部分，如具有凸纤维的半格？
• RQ5 凸空间范畴的范畴与代数性质为何？

主要发现

• 凸空间同时推广了向量空间中的概率性凸集与组合性半格，统一了两种不同范式。
• 半格（如子集上的交运算或自然数上的可除性）在以交作为凸组合时，构成凸空间。
• 存在混合类型凸空间，例如彩票例子中[0,1)与∆{a,b}通过特殊凸组合规则结合。
• 向量空间的凸子集空间在Minkowski和下构成凸空间，但其既非几何类型也非组合类型。
• 构造Sf ⋉C·推广了混合类型凸空间，包括无穷远点的扩展。
• 例如1/2(0,1) + 1/2[0,1] = (0,1)表明，凸集的凸空间不满足几何型公理，证明其与向量空间凸集有本质不同。