[论文解读] Convex Structured Controller Design

Krishnamurthy Dvijotham, Emanuel Todorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新颖的凸优化框架，用于结构化线性反馈控制器设计，通过引入基于逆输入-输出映射奇异值的新控制目标。利用固定行列式性质（Bode的灵敏度积分），该方法在任意凸约束下将非凸的结构化控制问题转化为凸问题，从而能够高效计算具有理论次优性保证的去中心化、时延或稀疏系统的最优控制器。

ABSTRACT

We consider the problem of synthesizing optimal linear feedback policies subject to arbitrary convex constraints on the feedback matrix. This is known to be a hard problem in the usual formulations ($\Htwo,\Hinf,\LQR$) and previous works have focused on characterizing classes of structural constraints that allow efficient solution through convex optimization or dynamic programming techniques. In this paper, we propose a new control objective and show that this formulation makes the problem of computing optimal linear feedback matrices convex under arbitrary convex constraints on the feedback matrix. This allows us to solve problems in decentralized control (sparsity in the feedback matrices), control with delays and variable impedance control. Although the control objective is nonstandard, we present theoretical and empirical evidence that it agrees well with standard notions of control. We also present an extension to nonlinear control affine systems. We present numerical experiments validating our approach.

研究动机与目标

• 解决在凸约束（如稀疏性或时延）下结构化线性控制器综合的NP难问题，此类约束使得标准动态规划或LQR方法无法适用。
• 开发一种新控制目标，使结构化控制器设计能够实现凸优化，克服现有频域方法或非凸方法的局限性。
• 提供理论次优性界，建立新凸目标与标准指标（如H₂和H∞范数）之间的联系。
• 将该框架扩展至时变和非线性控制仿射系统。
• 通过数值实验验证该方法，并展示其在性能上优于非凸优化技术。

提出的方法

• 该方法提出一种基于从扰动到状态轨迹映射F的奇异值的新控制目标，其中F是状态协方差矩阵的Cholesky分解因子。
• 利用F的奇异值乘积固定的事实（源于Bode的灵敏度积分），实现对H₂和H∞范数的凸近似。
• 新目标被表述为反馈增益矩阵K的凸函数，从而可在K的任意凸约束下通过凸优化高效求解。
• 该方法利用输入-输出映射的逆来推导H₂和H∞范数的上界，这些上界在K上是凸的，可作为代理目标函数。
• 通过类似凸化技术，该方法可推广至非线性系统，扩展至控制仿射动力学。
• 该方法提供了次优性界，量化了凸问题解对真实H₂或H∞最优控制器的逼近程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在任意凸约束（如稀疏性或时延）下的结构化线性控制器设计开发一个凸优化框架？
• RQ2 如何通过凸代理目标函数来近似结构约束下最小化H₂或H∞范数的非凸问题？
• RQ3 新凸目标与原始非凸H₂/H∞性能指标之间的理论关系是什么？
• RQ4 所提出的方法能否扩展至时变和非线性控制仿射系统？
• RQ5 通过该凸方法合成的控制器在实际中与非凸优化方法相比性能如何？

主要发现

• 所提出的凸优化框架可在任意凸约束（包括去中心化控制的稀疏模式）下高效计算最优线性反馈控制器。
• 在数值实验中，该方法在H₂和H∞性能指标方面表现出更优性能和更快收敛速度，优于标准非凸方法。
• 理论次优性界表明，凸问题的解与真实H₂或H∞最优性能之间的差距在可控范围内。
• 该框架可推广至时变线性系统和非线性控制仿射系统，扩展了其在标准LQR设置之外的应用范围。
• 利用逆映射奇异值的方法，使原本非凸的目标（如状态转移映射的核范数）得以凸化。
• 该方法是首个利用Bode的灵敏度积分（输入-输出映射的固定行列式）来设计高效凸控制设计算法的方法。