[论文解读] Convexification method for a coefficient inverse problem and its performance for experimental backscatter data for buried targets

Michael V. Klibanov, Aleksandr E. Kolesov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文提出了一种凸化方法，用于利用埋藏目标的实验后向散射数据求解三维系数逆问题（CIP），通过使用Carleman权函数构建全局严格凸的成本泛函。该方法确保了无局部极小值的全局收敛性，即使在高噪声水平下也能实现介电常数和位置的精确重建，经真实实验数据验证，大多数情况下误差低于10%。

ABSTRACT

We present in this paper a novel numerical reconstruction method for solving a 3D coefficient inverse problem with scattering data generated by a single direction of the incident plane wave. This inverse problem is well-known to be a highly nonlinear and ill-posed problem. Therefore, optimization-based reconstruction methods for solving this problem would typically suffer from the local-minima trapping and require strong a priori information of the solution. To avoid these problems, in our numerical method, we aim to construct a cost functional with a globally strictly convex property, whose minimizer can provide a good approximation for the exact solution of the inverse problem. The key ingredients for the construction of such functional are an integro-differential formulation of the inverse problem and a Carleman weight function. Under a (partial) finite difference approximation, the global strict convexity is proven using the tool of Carleman estimates. The global convergence of the gradient projection method to the exact solution is proven as well. We demonstrate the efficiency of our reconstruction method via a numerical study of experimental backscatter data for buried objects.

研究动机与目标

• 开发一种针对单一直角入射平面波方向散射数据的三维系数逆问题（CIP）的全局收敛数值方法。
• 克服传统基于优化的方法的局限性，如陷入局部极小值以及对强先验信息的依赖。
• 将凸化方法扩展至埋藏目标的实验后向散射数据，这一情况相比模拟数据更具挑战性。
• 展示在真实世界噪声测量数据下，对埋藏目标介电常数和空间位置的重建中实现全局收敛性和高精度。

提出的方法

• 该方法利用Carleman权函数（CWF）构造加权成本泛函，确保该泛函具有全局严格凸性。
• CWF源自Helmholtz算子的Carleman估计，使梯度投影法实现全局收敛。
• 对两个空间变量采用半离散有限差分逼近，而第三个变量保持连续，以在计算可行性与理论严谨性之间取得平衡。
• 该方法避免了迭代尾函数精炼，且无需小波数区间，相较于先前的全局收敛方法更具鲁棒性。
• 数据预处理包括参考信号减除和反向传播，以提高信噪比并估计目标位置。
• 通过使用梯度投影法最小化凸成本泛函实现重建，该方法已被证明可在仅依赖噪声和离散化误差的邻域内全局收敛至真实解。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于凸化的方法能否在使用埋藏目标实验后向散射数据的情况下，实现三维系数逆问题的全局收敛？
• RQ2 Carleman权函数如何确保成本泛函的全局严格凸性，从而实现无局部极小值的收敛至真实解？
• RQ3 在高噪声和数据有限的条件下，该方法在重建埋藏目标介电常数和空间位置方面的性能如何？
• RQ4 与先前的全局收敛方法相比，该方法在假设条件（如需要小波数区间或迭代尾函数精炼）方面有何差异？

主要发现

• 该方法成功重建了六个埋藏目标的介电常数，计算误差范围为1.23%至9.63%，全部低于或与测量误差相当。
• 所有情况下，重建的最大系数位置与真实目标位置的偏差均在0.25米以内，表明具有高空间精度。
• 对于目标3（岩石），重建的介电常数为5.07，误差为9.63%，低于其21.3%的测量误差，表明方法具有鲁棒性。
• 该方法实现了全局收敛，无需预先知晓解的邻域信息，仅依赖于噪声和离散化水平。
• 对目标2和目标4（蛋白石和梧桐木）的重建图像与真实形状高度一致，通过Paraview轮廓滤波器可视化得到验证。
• 针对每个目标确定了最优频率和波数区间，方法在不同材料和尺寸下均表现出一致性能。