[论文解读] Convexity and monotonicity for the elliptic integrals of the first kind and applications

Zhen-Hang Yang, Jing-Feng Tian|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文研究了完全椭圆积分第一类 $Χ(r)$ 的组合的单调性与凸性性质。利用新颖的分析工具，证明了当且仅当 $c = e^{4/3}$ 时，$\mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ 在 $(0,1)$ 上严格为凹函数，从而得到了 $\mathcal{K}(r)$ 及其相关函数的精确不等式与界限。

ABSTRACT

The elliptic integral and its various generalizations are playing very important and basic role in different branches of modern mathematics. It is well known that they cannot be represented by the elementary transcendental functions. Therefore, there is a need for sharp computable bounds for the family of integrals. In this paper, by virtue of two new tools, we study monotonicity and convexity of certain combinations of the complete elliptic integrals of the first kind, and obtain new sharp bounds and inequalities for them. In particular, we prove that the function $\mathcal{K}\left( \sqrt{% x} ight) /\ln \left( c/\sqrt{1-x} ight) $ is concave on $\left( 0,1 ight) $ if and only if $c=e^{4/3}$, where $\mathcal{K}$ denotes the complete elliptic integrals of the first kind.

研究动机与目标

• 建立完全椭圆积分第一类 $\mathcal{K}(r)$ 的新精确界限与不等式，其无法用初等函数表示。
• 研究函数 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ 在 $(0,1)$ 上的凸性与单调性，特别是确定使其为凹函数的 $c$ 的精确值。
• 通过分析相关函数的高阶性质（如凸性与单调性），扩展已知的 $\mathcal{K}(r)$ 渐近与比较不等式。
• 利用凸性与凹性结果，为 $\mathcal{K}(r)$ 及其组合（包括模 $\mu(r)$）提供新的估计。
• 提出并激发关于相关函数凸性的开放问题与猜想，旨在改进拟共形映射理论与特殊函数中的现有界限。

提出的方法

• 利用两个新的分析工具（引理1与引理2）分析涉及 $\mathcal{K}(r)$ 与对数项的函数的导数符号与单调性。
• 应用高斯超几何函数 $F(a,b;c;x)$ 的性质，特别是其在 $x=1$ 附近的性质，推导 $\mathcal{K}(r)$ 的渐近展开式。
• 应用超几何函数的微分公式，计算 $Q_1(x)$ 与 $D(x)$ 的导数，从而实现对凸性与单调性的分析。
• 利用渐近展开式 $\mathcal{K}(r) \sim \ln(4 / r')$ 当 $r \to 1^-$ 时，指导构造包含对数项的比较函数。
• 应用关于比值 $\mathcal{K}(r)/\ln(c / r')$ 单调性的已知结果，将其扩展至凹性与凸性分析。
• 利用不完全贝塔函数与伽马函数，以及 digamma 函数 $\psi(z)$，计算渐近展开式与不等式中的常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪个 $c$ 值，函数 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ 在 $(0,1)$ 上严格为凹函数？
• RQ2 在何种条件下 $Q_1(x)$ 为凸或对数凹函数？这些性质如何改进 $\mathcal{K}(r)$ 的界限？
• RQ3 函数 $Q_2(r) = \mathcal{K}(r) / \ln(1 + 4 / r')$ 在 $(0,1)$ 上是凸还是凹函数？这对 $\mathcal{K}(r)$ 的界限有何影响？
• RQ4 能否证明函数 $D(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) - \ln(1 + 4 / \sqrt{1-x})$ 是严格凸的，或其二阶导数具有单调性？
• RQ5 使得 $Q_1(x)$ 在 $(0,1)$ 上为凸函数，或 $1/Q_1(x)$ 为凹函数的最优参数 $c$ 是什么？

主要发现

• 当且仅当 $c = e^{4/3}$ 时，函数 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$ 在 $(0,1)$ 上严格为凹函数，提供了凹性的精确阈值。
• 当 $c = e^{4/3}$ 时，函数 $Q_1(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格递减且对数凹，且 $1/Q_1(x)$ 为凸函数。
• 函数 $D(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) - \ln(1 + 4 / \sqrt{1-x})$ 在 $(0,1)$ 上严格凸，且其导数 $D'(x)$ 仅改变符号一次，表明存在唯一极小值。
• 函数 $Q_2(r) = \mathcal{K}(r) / \ln(1 + 4 / r')$ 在 $(0,1)$ 上严格递增，这表明其对 $\mathcal{K}(r)$ 的对数表达式给出了改进的界限。
• 双不等式 $\ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2) + p r^2 < \mathcal{K}(r) < \ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2) + q r^2$ 对 $r \in (0,1)$ 成立，当且仅当 $p \leq \pi/8 - 2/5$ 且 $q \geq \ln 5 - \pi/2$，提供了精确的二次界限。
• 关于 $\mathcal{K}(r) < \ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2)(1 - r)$ 的猜想通过 $D(x)$ 的凸性得到证实，从而为一个先前提出的不等式提供了新证明。