[论文解读] Convexity and smoothness of scale functions and de Finetti's control problem

Andreas E. Kyprianou, Víctor M. Hernández Rivero+1 more|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Probability and Risk Models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过子调和过程的潜在分析，建立了谱负稳定过程的尺度函数的光滑性与凸性性质。证明了若 Lévy 密度为对数凸函数，则尺度函数 $ W^{(q)} $ 在 $ (a^*, \infty) $ 上为凸函数，其中 $ a^* $ 是 $ W^{(q)′} $ 达到全局最小值的点，从而通过在 $ a^* $ 处采用屏障策略解决了 de Finetti 的控制问题。

ABSTRACT

Under appropriate conditions, we obtain smoothness and convexity properties of $q$-scale functions for spectrally negative Lévy processes. Our method appeals directly to very recent developments in the theory of potential analysis of subordinators. As an application of the latter results to scale functions, we are able to continue the very recent work of \cite{APP2007} and \cite{Loe}. We strengthen their collective conclusions by showing, amongst other results, that whenever the Lévy measure has a density which is log convex then for $q>0$ the scale function $W^{(q)}$ is convex on some half line $(a^*,\infty)$ where $a^*$ is the largest value at which $W^{(q)\prime}$ attains its global minimum. As a consequence we deduce that de Finetti's classical actuarial control problem is solved by a barrier strategy where the barrier is positioned at height $a^*$.

研究动机与目标

• 建立谱负 Lévy 过程的 $ q $-尺度函数的光滑性与凸性性质。
• 将 de Finetti 经典精算控制问题的先前结果扩展到更广泛的 Lévy 过程类别。
• 以 $ W^{(q)′} $ 的全局最小值为基准，刻画最优屏障水平 $ a^* $。
• 通过子调和过程的潜在分析，将尺度函数的凸性与 Lévy 密度的对数凸性联系起来。
• 为在一般 Lévy 动力学下的屏障策略最优性提供严格的分析基础。

提出的方法

• 利用子调和过程潜在分析的最新进展，特别是特殊子调和过程的理论。
• 应用 Wiener-Hopf 分解，将下降 ladder 过程的 Laplace 指数与尺度函数联系起来。
• 推导出双变量下降 ladder 子调和过程 $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ 的 Lévy 密度 $ \upsilon_q(x) $，并证明当 Lévy 密度为对数凸函数时，该密度是非增的。
• 运用分部积分法与对数凸函数的性质，证明 $ \upsilon_q(x) = e^{\Phi(q)x} \int_x^\infty e^{-\Phi(q)y} \pi(y) dy $，当 $ \pi $ 为对数凸函数时，该表达式是非增的。
• 利用 $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ 作为具有漂移 $ d = \sigma^2/2 $ 的 Bernstein 函数，并通过上升 ladder 过程的潜在测度导出 Lévy 测度的特性。
• 应用时间-空间 Wiener-Hopf 分解，建立 $ \widehat{\kappa}(q, 0) = q / \Phi(q) $，从而推导出 $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ 的 Lévy 测度尾部行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 Lévy 密度条件下，$ q $-尺度函数 $ W^{(q)} $ 在半直线上呈现凸性？
• RQ2 de Finetti 控制问题中的最优屏障水平 $ a^* $ 与 $ W^{(q)′} $ 的全局最小值有何关系？
• RQ3 当 Lévy 密度为对数凸函数时，能否通过子调和过程的潜在分析建立 $ W^{(q)} $ 的凸性？
• RQ4 下降 ladder 子调和过程 $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ 的 Lévy 测度的精确结构是什么？它与原始 Lévy 测度 $ \Pi $ 的关系如何？
• RQ5 de Finetti 问题中屏障策略的最优性在多大程度上可推广至扩散和复合泊松情形之外？

主要发现

• 若 Lévy 密度 $ \pi $ 为对数凸函数，则子调和过程 $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ 的 Lévy 密度 $ \upsilon_q $ 为非增函数。
• 当 $ \pi $ 为对数凸函数时，函数 $ x \mapsto e^{\Phi(q)x} \int_x^\infty e^{-\Phi(q)y} \pi(y) dy $ 为对数凸函数。
• 尺度函数 $ W^{(q)} $ 在 $ (a^*, \infty) $ 上为凸函数，其中 $ a^* $ 是 $ W^{(q)′} $ 达到全局最小值的点。
• 在 Lévy 密度对数凸的条件下，de Finetti 问题的最优控制策略为在 $ a^* $ 处采用屏障策略。
• 子调和过程 $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ 的 Lévy 测度尾部为 $ \Upsilon_q(z, \infty) = e^{\Phi(q)z} \int_z^\infty e^{-\Phi(q)u} \overline{\Pi}(u) du $，与推导出的密度 $ \upsilon_q(x) $ 一致。
• 尺度函数 $ W^{(q)} $ 在 $ [0, \infty) $ 上严格递增且连续，其 Laplace 变换为 $ \int_0^\infty e^{-\theta x} W^{(q)}(x) dx = 1 / (\psi(\theta) - q) $，其中 $ \theta > \Phi(q) $。