[论文解读] Convexity Conditions for 802.11 WLANs

Vijay Subramanian, Douglas J. Leith|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Wireless Networks and Protocols参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过证明在正象限中，802.11 WLAN 的速率区域的补集是严格凸的，刻画了该非凸速率区域中的最大凸子集。该结果使得即使对于不适用于先前基于对数凸性的方法的效用函数，也能应用凸优化来实现公平吞吐量分配，因为识别出了效用最大化可处理的凸子集。

ABSTRACT

In this paper we characterise the maximal convex subsets of the (non-convex) rate region in 802.11 WLANs. In addition to being of intrinsic interest as a fundamental property of 802.11 WLANs, this characterisation can be exploited to allow the wealth of convex optimisation approaches to be applied to 802.11 WLANs.

研究动机与目标

• 识别802.11 WLAN速率区域的基本凸性特性，该区域本质上是非凸的。
• 在802.11 WLAN中启用凸优化技术，以实现公平速率分配，特别是在标准方法失效的情况下。
• 对非凸速率区域内的最大凸子集提供完整且明确的刻画。
• 克服先前基于对数凸性的方法的局限性，这些方法排除了诸如双曲绝对风险规避和幂风险规避家族等重要效用函数。
• 通过识别可用于优化的凸工作区域，支持多跳802.11网络中的基于效用的公平性。

提出的方法

• 将传输尝试概率 $\tau_i$ 变换为 $x_i = \tau_i / (1 - \tau_i)$，以简化吞吐量表达式并支持凸性分析。
• 将速率区域 $R$ 定义为在 $x \in [0, \infty)^n$ 和 $N \in \prod_{k=1}^n [\underline{N}_k, \bar{N}_k]$ 上可实现吞吐量 $s(x, N)$ 的集合，其中 $s_i(x, N)$ 表示为 $x$ 和 $N$ 的有理函数。
• 通过函数 $h(x)$ 证明正象限中速率区域的补集是严格凸的，其中 $h(x) = 1$ 定义了边界。
• 确立速率区域的最大凸子集由速率区域与由 $x_i$ 上线性约束定义的半空间的交集决定。
• 使用定理1识别出 $U(\exp(\cdot))$ 为凹函数的凸子集，从而为更广泛的效用函数类提供凸优化能力。
• 将该框架应用于具有802.11聚类的网状网络，通过数值示例比较比例公平性和非对数效用。

实验结果

研究问题

• RQ1 802.11 WLAN 的非凸速率区域中的最大凸子集是什么？如何对其进行显式刻画？
• RQ2 为何标准约束（如最大尝试概率或碰撞概率）在 $n > 2$ 个站点的 WLAN 中无法产生凸子集？
• RQ3 尽管速率区域是非凸的，如何在802.11 WLAN中应用凸优化？
• RQ4 先前基于对数凸性的方法排除了哪些效用函数类别？这些函数能否通过所提出的框架处理？
• RQ5 所提出的凸子集是否能支持如双曲绝对风险规避和幂风险规避等效用函数的公平速率分配，而这些函数不满足 $U(\exp(\cdot))$ 的凹性？

主要发现

• 通过水平集 $h(x) = 1$ 证明了802.11 WLAN速率区域在正象限中的补集是严格凸的，其中 $h(x)$ 是一个严格凸函数。
• 速率区域的最大凸子集由速率区域与由变换变量 $x_i = \tau_i / (1 - \tau_i)$ 上的线性约束所定义的半空间的交集形成，且这些子集可被显式刻画。
• 对于 $n > 2$ 个站点，标准约束（如限制 $\tau_i$、$\sum \tau_i$、碰撞概率或空闲概率）无法产生凸子集。
• 该框架使得对 $U(\exp(\cdot))$ 不为凹的效用函数也能应用凸优化，包括双曲绝对风险规避和幂风险规避家族。
• 在包含三个流的数值示例中，比例公平解（$x_2^* = 0.2094$）是先前对数凸性方法唯一可访问的解，而所提方法支持 $U_1$（$x_2^* = 0.3767$）和 $U_2$（$x_2^* = 0.3516$）的最优解。
• 该方法通过识别速率区域边界上的凸工作点，使得标准基于效用的公平性框架可直接应用于802.11网状网络。