[论文解读] Convexity of effective Lagrangian in nonlinear electrodynamics as derived from causality

A. E. Shabad, Vladimir V. Usov|ArXiv.org|Nov 3, 2009

Mechanical and Optical Resonators参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文证明，由于因果性和幺正性，非线性电动力学中的有效拉格朗日量必须关于电磁不变量 $\mathfrak{F}$ 和 $\mathfrak{G}$ 是凸的，从而确保真空激发的群速度不超过光速。关键结果是：拉格朗日量的凸性，连同介电常数和磁导率的正性，是稳定、因果量子真空的必要条件，其违反则表明存在快子或超光速鬼态。

ABSTRACT

In nonlinear electrodynamics, by implementing the causality principle as the requirement that the group velocity of elementary excitations over a background field should not exceed unity, and the unitarity principle as the requirement that the residue of the propagator should be nonnegative, we find restrictions on the behavior of massive and massless dispersion curves and establish the convexity of the effective Lagrangian on the class of constant fields, also the positivity of all characteristic dielectric and magnetic permittivity constants. Violation of the general principles by the one-loop approximation in QED at exponentially large magnetic field is analyzed resulting in complex energy tachyons and super-luminal ghosts that signal the instability of the magnetized vacuum. General grounds for kinematical selection rules in the process of photon splitting/merging are discussed.

研究动机与目标

• 从因果性、幺正性等基本原理出发，推导非线性电动力学中有效拉格朗日量的一般约束。
• 建立在恒定背景场下，有效拉格朗日量必须关于不变量 $\mathfrak{F} = \frac{1}{2}(B^2 - E^2)$ 和 $\mathfrak{G} = \mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$ 是凸的。
• 分析强磁场下磁化QED真空的不稳定性，其中一阶微扰计算违反了因果性和幺正性。
• 基于真空稳定性，建立光子分裂与合并过程的普遍运动学选择规则框架。

提出的方法

• 从极化张量的色散关系推导真空激发的群速度，强制要求 $|\partial k_0 / \partial \mathbf{k}| \leq 1$ 以满足因果性。
• 利用任意动量及恒定 $\mathfrak{F}, \mathfrak{G}$ 下的光子传播幅和极化算符的对角表示，以特征值和特征向量表示。
• 分析极化算符在红外极限（$k \to 0$）下的行为，将其特征值用有效拉格朗日量对 $\mathfrak{F}$ 和 $\mathfrak{G}$ 的一阶与二阶导数表示。
• 通过要求传播幅的留数非负来应用幺正性，从而对有效拉格朗日量的二阶导数施加约束。
• 研究有效拉格朗日量在强磁场极限下的行为，识别出复能快子和超光速鬼态作为真空不稳定的标志。
• 利用极化张量分量推导磁化真空中的纵向和横向离子体模，将其与拉格朗日量的导数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 因果性对具有恒定背景场的非线性电动力学中的有效拉格朗日量施加了何种约束？
• RQ2 幺正性如何限制有效拉格朗日量及其对不变量 $\mathfrak{F}$ 和 $\mathfrak{G}$ 的导数的形式？
• RQ3 在强磁场下，一阶微扰QED有效拉格朗日量在何种条件下违反因果性和幺正性？
• RQ4 真空激发的色散曲线与有效拉格朗日量的凸性之间有何关系？
• RQ5 在磁化真空中，光子分裂与合并过程的运动学选择规则是什么？

主要发现

• 对于所有恒定 $\mathfrak{F} \gtrless 0$ 和 $\mathfrak{G} = 0$，非线性电动力学中的有效拉格朗日量在 $\mathfrak{F}$ 和 $\mathfrak{G}$ 上是凸的，这是因果性和幺正性的直接结果。
• 真空激发的群速度不得超过光速，这要求有效拉格朗日量的二阶导数满足 $\mathfrak{L}_{\mathfrak{FF}} \geq 0$ 和 $\mathfrak{L}_{\mathfrak{GG}} \geq 0$。
• 在强磁场极限下，一阶微扰QED有效拉格朗日量导致复能快子和超光速鬼态，表明真空不稳定。
• 磁化真空中的横向和纵向离子体模由导数 $\mathfrak{L}_{\mathfrak{F}}$ 和 $\mathfrak{L}_{\mathfrak{FF}}$ 决定，其中 $\mu^\text{pl}_\text{tr}(0) = (1 - \mathfrak{L}_{\mathfrak{F}})^{-1} \geq 1$。
• 条件 $\left(\mu^\text{w}_\text{tr}(0)\right)^{-1} = 1 - \mathfrak{L}_{\mathfrak{F}} \geq 0$ 确保了横向离子体模有效磁导率的正性。
• 有效拉格朗日量的凸性意味着介电常数和磁导率常数为正，这是稳定真空的必要条件。