[论文解读] Convexity of Hamiltonian manifolds

Friedrich Knop|ArXiv.org|Dec 13, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 29

一句话总结

本文引入了凸哈密顿流形的概念，其定义基于在到一个韦尔 chamber 的投影下，动量映射的原像的连通性。本文证明了凸性蕴含凸的动量像、连通的纤维以及开动量映射，并表明关键类（如紧致流形、酉表示和余切丛）均为凸的，且所有哈密顿流形在局部上都是凸的。

ABSTRACT

Let K be a connected Lie group and M a Hamiltonian K-manifold. In this paper, we introduce the notion of convexity of M. It implies that the momentum image is convex, the moment map has connected fibers, and the total moment map is open onto its image. Conversely, the three properties above imply convexity. We show that most Hamiltonian manifolds occuring "in nature" are convex (e.g., if M is compact, complex algebraic, or a cotangent bundle). Moreover, every Hamiltonian manifold is locally convex. This is an expanded version of section 2 of my paper dg-ga/9712010 on Weyl groups of Hamiltonian manifolds.

研究动机与目标

• 为动量映射的拓扑条件进行形式化，以排除哈密顿 $K$-流形中的病态行为。
• 将紧致和酉情形下已知的动量像凸性和纤维连通性统一为一个单一的结构概念。
• 建立一个凸性的判别准则，使得动量映射的开性成为凸性的必要且充分条件。
• 证明基本的哈密顿流形类（如余切丛、紧致流形）满足凸性条件。
• 证明每个哈密顿流形在局部上都是凸的，从而将凸性的适用范围扩展到一般情形。

提出的方法

• 定义映射 $\psi: M \to \mathfrak{t}^+$ 为动量映射 $\mu$ 与到韦尔 chamber $\mathfrak{t}^+$ 的投影的复合，为每个点分配其在 $\mathfrak{t}^+$ 中唯一的 $K$-轨道代表。
• 通过条件 $\psi^{-1}(\overline{uv})$ 对所有 $u,v \in \psi(M)$ 均连通来引入凸性的概念，以确保线段上纤维的拓扑一致性。
• 利用 Sjamaar 关于动量映射局部结构的结果，证明条件 (i) 凸像、(ii) 连通纤维和 (iii) 开映射等价于凸性。
• 应用局部结构定理，证明每个哈密顿流形在每一点附近都存在一个作为哈密顿流形的凸邻域。
• 利用余切丛动量映射的齐次性及 $\mathbb{R}_{>0}$-作用，证明 $\psi(T^*X) = C_x$，即零截面处的局部锥，并由此推出凸性。
• 证明 $\psi(M)$ 的仿射包在 $M$ 上保持不变，且 $\psi(M)$ 的相对内部在 $\psi(M)$ 中稠密，利用局部凸性和开性。

实验结果

研究问题

• RQ1 动量映射的何种拓扑条件可确保哈密顿流形避免病态行为？
• RQ2 能否将动量像的凸性和纤维的连通性统一为一个单一的结构条件？
• RQ3 动量映射的开性是否为哈密顿流形凸性的必要且充分条件？
• RQ4 哪些标准的哈密顿流形类（如紧致流形、酉表示或余切丛）满足凸性条件？
• RQ5 每个哈密顿流形是否都能在局部上被凸的流形逼近，这对整体拓扑有何影响？

主要发现

• 哈密顿 $K$-流形的凸性等价于以下三个条件的共同满足：(i) 图像 $\psi(M) \subseteq \mathfrak{t}^+$ 的凸性，(ii) 映射 $\psi$ 的纤维连通性，以及 (iii) 映射 $\psi: M \to \psi(M)$ 的开性。
• 所有紧致哈密顿 $K$-流形均为凸的，连通的复代数凯勒簇以及余切丛 $T^*X$ 也均为凸的。
• 群 $K$ 的酉表示是凸的，将基尔万的凸性定理从紧致情形推广到了更一般的情形。
• 凸流形的动量像 $\psi(M)$ 局部上是一个凸多面体，其相对内部在 $\psi(M)$ 中稠密。
• 对任意 $x \in M$，存在 $x$ 的一个邻域 $U$，使得 $\psi(U)$ 在局部锥 $C_x$ 中开，且 $\psi^{-1}(\psi(U))$ 是凸的。
• 每个哈密顿 $K$-流形在局部上都是凸的，即每个点在哈密顿意义下都有一个凸邻域，这将凸性推广到了非紧致和非代数的情形。