[论文解读] Convexity of solutions and Brunn-Minkowski inequalities for Hessian equations in $\\R^3$

Paolo Salani|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 6

一句话总结

本文通过凸函数的闵可夫斯基加法，建立了 $\mathbb{R}^3$ 中海森方程解的新凸性性质，证明了当 $S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$ 时，$v = -\log(-u)$ 为凸函数；当 $S_2(D^2u) = 1$ 时，$v = -\sqrt{-u}$ 为凸函数。此外，本文还证明了 $2$-张力刚度泛函 $\tau_2(\Omega)$ 的布拉恩-闵可夫斯基不等式，将经典不等式推广至三维空间中的完全非线性海森算子。

ABSTRACT

By using Minkowski addition of convex functions, we prove convexity and rearrangement properties of solutions to some Hessian equations in $\\R^3$ and Brunn-Minkowski and isoperimetric inequalities for related functionals.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{R}^3$ 中海森方程 $S_k(D^2u) = f$ 的解在 $k=2$ 时的凸性性质，尤其针对具有幂次非线性项的狄利克雷问题。
• 将布拉恩-闵可夫斯基与等周不等式推广至三维空间中 $k$-张力刚度泛函 $\tau_k(\Omega)$。
• 通过凸函数的闵可夫斯基加法，为现有凸性结果提供新证明，为常秩技术提供一种宏观替代方法。
• 探讨基于表示公式与变分方法，能否为 $2$-张力刚度泛函 $\tau_2(\Omega)$ 提出一个闵可夫斯基问题。

提出的方法

• 利用凸函数的闵可夫斯基加法，分析变换解 $v = -\log(-u)$ 与 $v = -\sqrt{-u}$ 的凸性。
• 应用变分技术，通过在 $\partial\Omega$ 上消失的 $k$-凸函数的下确界，定义并研究 $k$-张力刚度泛函 $\tau_k(\Omega)$。
• 推导出 $\tau_2(\Omega)$ 的表示公式，以单位球面上的支撑函数与 $(n-k)$-面积测度表示，将其与边界上解的梯度联系起来。
• 通过变换解的凸性及闵可夫斯基混合体积理论，建立 $\tau_2(\Omega)$ 的布拉恩-闵可夫斯基不等式。
• 将结果推广至更广泛的非线性形式 $S_2(D^2u) = \lambda (-u)^p$（$p \in (0,2)$），证明 $v = -(-u)^{(2-p)/4}$ 的凸性。
• 将 $\mathcal{C}_1^+$ 域（具有 $C^{3,1}$ 光滑边界与正平均曲率的凸集）作为解的存在性与正则性问题的自然类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $\mathcal{C}_1^+$ 域内，$S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$ 的解 $u$ 是否使得变换 $v = -\log(-u)$ 为凸函数？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $\mathcal{C}_1^+$ 域内，$S_2(D^2u) = 1$ 的解 $u$ 是否使得 $v = -\sqrt{-u}$ 为凸函数？
• RQ3 能否在 $\mathbb{R}^3$ 中为 $2$-张力刚度泛函 $\tau_2(\Omega)$ 建立布拉恩-闵可夫斯基不等式？
• RQ4 Rogers-Shephard 不等式是否对 $\tau_2(D\Omega)$ 成立，即是否存在普遍常数 $C$，使得 $\tau_2(D\Omega) \leq C \tau_2(\Omega)$？
• RQ5 能否基于推导出的表示公式，为 $2$-张力刚度泛函 $\tau_2(\Omega)$ 提出一个闵可夫斯基问题？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $\mathcal{C}_1^+$ 域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 内，$S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$ 的解 $u$ 对应的函数 $v = -\log(-u)$ 为凸函数。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $\mathcal{C}_1^+$ 域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 内，$S_2(D^2u) = 1$ 的解 $u$ 对应的函数 $v = -\sqrt{-u}$ 为凸函数。
• 对于 $p \in (0,2)$，在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $\mathcal{C}_1^+$ 域内，$S_2(D^2u) = \lambda (-u)^p$ 的解对应的函数 $v = -(-u)^{(2-p)/4}$ 为凸函数。
• 对 $2$-张力刚度泛函 $\tau_2(\Omega)$，布拉恩-闵可夫斯基不等式成立，即 $\tau_2(\Omega_0 + \Omega_1)^{1/10} \geq \tau_2(\Omega_0)^{1/10} + \tau_2(\Omega_1)^{1/10}$，其中 $\Omega_0, \Omega_1 \in \mathcal{C}_1^+$。
• 推导出 $\tau_2(\Omega)$ 的表示公式：$\tau_2(\Omega) = \frac{1}{10} \int_{S^2} h_\Omega(X) |Du(\nu_\Omega^{-1}(X))|^3 d\sigma^\Omega_1(X)$，将其与边界数据及曲率测度联系起来。