[论文解读] Convexity of Sub-polygons of Convex Polygons

Iosif Pinelis|ArXiv.org|Sep 25, 2006

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文证明了：所有顶点互异的凸多边形的子多边形均为凸多边形；反之，当 $ n \geq 5 $ 时，若一个 $ n $-边形的所有 $ (n-1) $-顶点多边形均为凸多边形，则该 $ n $-边形为凸多边形。核心贡献在于建立了凸多边形性的一个遗传性刻画，从而支持归纳证明，并可通过子多边形验证实现高效的凸性检测。

ABSTRACT

A convex polygon is defined as a sequence (V_0,...,V_{n-1}) of points on a plane such that the union of the edges [V_0,V_1],..., [V_{n-2},V_{n-1}], [V_{n-1},V_0] coincides with the boundary of the convex hull of the set of vertices {V_0,...,V_{n-1}}. It is proved that all sub-polygons of any convex polygon with distinct vertices are convex. It is also proved that, if all sub-(n-1)-gons of an n-gon with n\ge5 are convex, then the n-gon is convex. Other related results are given.

研究动机与目标

• 正式建立顶点删除下凸多边形性的遗传性质。
• 通过明确必要与充分条件，解决增量凸性检测中的歧义。
• 为计算几何中的归纳证明与计算凸性检测提供理论基础。
• 纠正先前文献中关于增量凸性定理的误解。

提出的方法

• 将多边形定义为顶点序列，其边构成顶点凸包的边界。
• 使用向下遗传性：若一个凸多边形具有互异顶点，则删除任意顶点后仍得到一个凸多边形。
• 应用向上遗传性：若一个 $ n $-边形（$ n \geq 5 $）的所有 $ (n-1) $-顶点多边形均为凸多边形，则该 $ n $-边形为凸多边形。
• 通过循环排列与支撑线性质等组合与几何论证，证明子多边形的凸性。
• 利用关于严格凸性与直线交点的引理，推导出非凸配置下的矛盾。
• 构建基于子多边形凸性的测试方法：当 $ n \geq 5 $ 且顶点互异时，一个 $ n $-边形为凸多边形当且仅当其所有通过删除一个顶点得到的 $ (n-1) $-顶点多边形均为凸多边形。

实验结果

研究问题

• RQ1 顶点互异的凸多边形的所有子多边形是否必然为凸多边形？
• RQ2 能否通过检测其 $ (n-1) $-顶点多边形的凸性来判断 $ n $-边形（$ n \geq 5 $）的凸性？
• RQ3 基于子多边形的凸性，何种条件可确保多边形本身为凸多边形？
• RQ4 多边形凸性是否存在支持计算几何中归纳推理的遗传结构？
• RQ5 如何纠正先前文献中关于增量凸性检测的错误或不完整陈述？

主要发现

• 所有顶点互异的凸多边形的子多边形均为凸多边形，证实了凸性的向下遗传性。
• 当 $ n \geq 5 $ 时，$ n $-边形为凸多边形当且仅当其所有 $ (n-1) $-顶点多边形均为凸多边形，确立了向上遗传性。
• 对于 $ n \geq 5 $ 且顶点互异的多边形，可通过验证其 $ n $ 个通过删除一个顶点得到的 $ (n-1) $-顶点多边形的凸性来测试其凸性。
• 证明依赖于支撑线与凸包的几何性质，尤其在顶点互异且多边形为严格凸的情况下。
• 当假设原多边形为严格凸多边形时，若在由顶点排列构成的子四边形中假设其非凸，则可导出矛盾。
• 本文纠正了先前文献中的错误陈述，表明文献[5]中定理4.3的“若”方向在索引范围包含 $ i = n $ 时不成立，并提供了修正后有效的刻画。