[论文解读] Convoluted convolved Fibonacci numbers

Pieter Moree|ArXiv.org|Nov 12, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文引入并分析了'卷积型斐波那契数' $G_{j+1}^{(r)}$ 与'符号扭转卷积型斐波那契数' $H_{j+1}^{(r)}$，其通过斐波那契数生成函数的Witt变换定义。推导出这些数用普通斐波那契数与卢卡斯数表示的显式公式，利用李代数维数公式证明其为整数且非负，并将其应用于解析数论中常数 $B_{\rho}$ 的高精度L-级数计算。

ABSTRACT

The convolved Fibonacci numbers F_j^(r) are defined by (1-z-z^2)^{-r}=\sum_{j>=0}F_{j+1}^(r)z^j. In this note some related numbers that can be expressed in terms of convolved Fibonacci numbers are considered. These numbers appear in the numerical evaluation of a certain number theoretical constant. This note is a case study of the transform {1/n}\sum_{d|n}mu(d)f(z^d)^{n/d}, with f any formal series and mu the Moebius function), which is studied in a companion paper entitled `The formal series Witt transform'.

研究动机与目标

• 定义并研究新数列 $G_{j+1}^{(r)}$ 与 $H_{j+1}^{(r)}$，作为斐波那契数生成函数的Witt变换。
• 建立这些数列用斐波那契数与卢卡斯数表示的显式公式。
• 利用李代数维数公式，证明 $G_{j+1}^{(r)}$ 为非负整数，且 $H_{j+1}^{(r)}$ 为符号为 $(-1)^{r-1}$ 的非零整数。
• 将上述结果应用于模素数乘法阶研究中出现的常数 $B_{\rho}$ 的高精度数值计算。

提出的方法

• 将 $G_{j+1}^{(r)}$ 与 $H_{j+1}^{(r)}$ 定义为生成函数 $f(z) = 1/(1 - z - z^2)$ 与 $f(z) = -1/(1 - z - z^2)$ 的Witt变换系数。
• 利用Witt变换公式 ${\cal W}_f^{(r)}(z) = \frac{1}{r} \sum_{d|r} \mu(d) f(z^d)^{r/d}$，推导出 $G_{j+1}^{(r)}$ 与 $H_{j+1}^{(r)}$ 关于卷积斐波那契数的表达式。
• 通过将 $G_{j+1}^{(r)}$ 与 $H_{j+1}^{(r)}$ 分别识别为自由李代数中齐次子空间 $M(n_1,\dots,n_r)$ 与 $V_1(n_1,\dots,n_r)$ 的维数之和，建立与自由李代数的联系。
• 利用Witt对自由李代数的维数公式，推导出 $G_{j+1}^{(r)}$ 的整数性与非负性，以及 $H_{j+1}^{(r)}$ 的符号条件。
• 将结果应用于将常数 $B_{\chi}$ 表示为包含Dirichlet L-级数的无穷乘积，其中指数由 $G_{j-3r+1}^{(r)}$ 与 $(-1)^{r-1}H_{j-3r+1}^{(r)}$ 给出，从而实现高精度计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用斐波那契数生成函数的Witt变换定义与卷积斐波那契数相关的新型整数数列？
• RQ2 新数列 $G_{j+1}^{(r)}$ 与 $H_{j+1}^{(r)}$ 与经典斐波那契数和卢卡斯数之间存在何种显式关系？
• RQ3 为何 $G_{j+1}^{(r)}$ 为非负整数？其代数或组合学上的原因是什么？
• RQ4 这些数列能否用于高精度表达与计算解析数论中的常数 $B_{\chi}$？
• RQ5 作为 $j$ 与 $r$ 的函数，$G_{j+1}^{(r)}$ 与 $H_{j+1}^{(r)}$ 的单调性与结构性质如何？

主要发现

• 数列 $G_{j+1}^{(r)}$ 为非负整数，且可表示为 $G_{j+1}^{(r)} = \sum_{k=0}^{[j/2]} M(r,k,j-2k)$，其中 $M(n_1,\dots,n_r)$ 表示给定多重度的非周期词的数量。
• 数列 $H_{j+1}^{(r)}$ 为非零整数，符号为 $(-1)^{r-1}$，且满足 $H_{j+1}^{(r)} = \sum_{k=0}^{[j/2]} V_1(r,k,j-2k)$，其中 $V_1$ 为 $M$ 的带符号变体。
• 当 $r \geq 3$ 时，数列 $G_{j+1}^{(r)}$ 关于 $j$ 严格递增；当 $r = 1,2$ 时非递减，且在 $j \geq 2$ 时严格递增。
• 当 $j \geq 5$ 时，数列 $G_{j+1}^{(r)}$ 关于 $r$ 严格递增；当 $j \geq 3$ 时非递减，且至少存在一个严格递增项。
• 常数 $B_{\chi}$ 可表示为 $A \cdot \frac{L(2,\chi)}{L(3,-\chi)} \cdot \prod_{r=1}^{\infty} \prod_{j=3r+1}^{\infty} L(j,(-\chi)^r)^{-e(j,r)}$，其中 $e(j,r) = G_{j-3r+1}^{(r)}$，从而可通过已知的L-级数值实现高精度计算。
• 常数 $B_{\chi}$ 还可表示为 $A \cdot \frac{L(2,\chi)L(3,\chi)}{L(6,\chi^2)} \cdot \prod_{r=1}^{\infty} \prod_{j=3r+1}^{\infty} L(j,\chi^r)^{f(j,r)}$，其中 $f(j,r) = (-1)^{r-1} H_{j-3r+1}^{(r)}$，表明不同表达式之间的一致性。