[论文解读] Convoluted generalized white noise, Schwinger functions and their continuation to Wightman functions

Sergio Albeverio, Hanno Gottschalk+1 more|ArXiv.org|Sep 21, 2004

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文通过卷积广义白噪声与由伪微分算子 $(-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 导出的核 $G_\alpha$ 构造欧几里得随机场，建立其施温格函数与截断施温格函数，并对这些函数执行解析延拓，得到闵可夫斯基空间上的怀特曼函数。主要贡献在于严格推导出满足谱性、局域性与聚类性质的相对论性量子场论分布，部分结果涉及反射正定性与散射理论。

ABSTRACT

We construct Euclidean random fields $X$ over $\R^d$, by convoluting generalized white noise $F$ with some integral kernels $G$, as $X=G* F$. We study properties of Schwinger (or moment) functions of $X$. In particular, we give a general equivalent formulation of the cluster property in terms of truncated Schwinger functions which we then apply to the above fields. We present a partial negative result on the reflection positivity of convoluted generalized white noise. Furthermore, by representing the kernels $G_\a$ of the pseudo--differential operators $(-\D + m^2_0)^{-α}$ for $α\in (0,1)$ and $m_0>0$ as Laplace transforms we perform the analytic continuation of the (truncated) Schwinger functions of $X=G_α* F$, obtaining the corresponding (truncated) Wightman distributions on Minkowski space which satisfy the relativistic postulates on invariance, spectral property, locality and cluster property. Finally we give some remarks on scattering theory for these models.

研究动机与目标

• 通过将广义白噪声 $F$ 与由 $(-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 导出的积分核 $G$ 卷积，构造欧几里得随机场 $X = G * F$。
• 研究这些场的施温格函数，并利用截断施温格函数表征其聚类性质。
• 研究卷积广义白噪声场的反射正定性，得出部分否定性结果。
• 对（截断的）施温格函数执行解析延拓，得到闵可夫斯基空间上满足相对论不变性、谱条件与局域性的怀特曼分布。
• 探讨所得到模型的散射理论，尤其在哈格–鲁埃理论与态的渐近行为背景下。

提出的方法

• 将核 $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$（$\alpha \in (0,1)$）表示为拉普拉斯变换，以实现解析延拓。
• 利用拉普拉斯表示，将截断施温格函数表达为拉普拉斯变换，从而促进其向闵可夫斯基空间的延拓。
• 应用解析延拓过程，将欧几里得施温格函数转化为满足怀特曼公理的相对论性怀特曼分布。
• 通过截断施温格函数表征聚类性质，以分析场的长程行为。
• 分析时间演化下态 $\Psi(t)$ 的渐近行为，证明在速度空间不重叠的情况下，其收敛于自由态。
• 利用克雷因空间结构处理态空间中的不定度量，确保与不定度量空间中场的修正怀特曼公理的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 卷积广义白噪声场的施温格函数能否在保持相对论不变性与谱性质的前提下，经由解析延拓转化为闵可夫斯基空间上的怀特曼函数？
• RQ2 这些场的截断施温格函数中，聚类性质如何体现？能否以一般形式进行表征？
• RQ3 卷积广义白噪声场是否满足反射正定性，特别是当 $\alpha \in (0,1)$ 时？
• RQ4 散射态在渐近区域的行为如何？该模型是否支持哈格–鲁埃型散射理论？
• RQ5 在何种条件下，该模型的怀特曼分布满足全部怀特曼公理，尤其是态空间中范数的正定性？

主要发现

• 通过核 $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 的拉普拉斯表示，实现了截断施温格函数向怀特曼分布的解析延拓，确保了相对论不变性与谱性质。
• 具有‘精确质量’的截断施温格函数可表示为拉普拉斯变换，从而实现向闵可夫斯基空间的延拓，并导出显式的傅里叶变换怀特曼分布。
• 当 $\alpha = \frac{1}{2}$ 时，该模型允许稳定的一粒子态，使得哈格–鲁埃理论可适用，并在渐近区域确立 $\|\Psi(t)\|^2$ 的正定性。
• $\|\Psi(t)\|^2$ 在 $t \to \pm\infty$ 时趋近于 $\|\Psi(0)\|^2_g$，一般收敛速率为 $\sim (1+|t|)^{-3/2}$，在速度空间支持不重叠时收敛更快。
• 该模型除态空间中范数正定性不成立或不确定外（除 $F$ 为高斯分布外），其余怀特曼公理均满足。
• 怀特曼分布满足希尔伯特结构条件，可在稠密子空间 $\underline{{\cal S}}$ 上构造一个连续自伴算子 $\eta$，满足 $\eta^2 = 1$ 且 $<\cdot,\cdot> = (\cdot, \eta \cdot)$。