[论文解读] Convolution and involution on function spaces of homogeneous spaces

Arash Ghaani Farashahi|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文为局部紧群 $G$ 和紧子群 $H$ 的商空间 $L^1(G/H, \mu)$ 定义了一个明确定义的卷积，其中 $\mu$ 是一个相对不变测度，使该空间成为一个巴拿赫代数。此外，本文引入了 $L^1(G/H, \mu)$ 上的广义对合，证明了当且仅当 $H$ 是 $G$ 的正规子群时，$G$-不变测度支持从 $L^1(G)$ 到 $L^1(G/H, \mu)$ 的 $*$-同态，并构造了左陪集空间与右陪集空间之间的等距反同态。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and also let $H$ be a compact subgroup of $G$. It is shown that, if $μ$ is a relatively invariant measure on $G/H$ then there is a well-defined convolution on $L^1(G/H,μ)$ such that the Banach space $L^1(G/H,μ)$ becomes a Banach algebra. We also find a generalized definition of this convolution for other $L^p$-spaces. Finally, we show that various types of involutions can be considered on $G/H$.

研究动机与目标

• 为齐次空间 $G/H$ 定义一致的卷积运算，其中 $G$ 是局部紧群，$H$ 是紧子群。
• 通过连续性和可分性论证，将卷积从 $\mathcal{C}_c(G/H)$ 扩展到 $L^1(G/H, \mu)$。
• 研究在 $G$-不变测度和相对不变测度下，$L^1(G/H, \mu)$ 上对合的存在性与结构。
• 刻画商映射 $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$ 成为 $*$-同态的条件，将其与 $H$ 在 $G$ 中的正规性联系起来。
• 利用 $\rho$-函数和测度变换，构造左陪集空间 $G/_lH$ 与右陪集空间 $G/_rH$ 之间的等距反同态。

提出的方法

• 使用从 $\mathcal{C}_c(G)$ 到 $\mathcal{C}_c(G/H)$ 的满线性映射 $T_H$，通过从 $\mathcal{C}_c(G)$ 拉回的方式在 $\mathcal{C}_c(G/H)$ 上定义卷积。
• 通过连续性，利用 $\mathcal{C}_c(G/H)$ 在 $L^1(G/H, \mu)$ 中的稠密性，将卷积扩展到 $L^1(G/H, \mu)$。
• 利用 $L^1(G)$ 上的标准对合与商映射 $T_H$，定义广义对合 $^*_{l,r}: L^1(G/_lH, \mu_l) \to L^1(G/_rH, \mu_r)$。
• 通过验证 $ (\varphi \ast_l \psi)^{*_{l,r}} = \psi^{*_{l,r}} \ast_r \varphi^{*_{l,r}} $ 与 $ \|\varphi^{*_{l,r}}\| = \|\varphi\| $，证明 $^*_{l,r}$ 是等距反同态。
• 使用 $\rho$-函数 $\rho$ 构造 $G/H$ 上的相对不变测度 $\mu$，确保 $ \int_{G/H} P_H(f) d\mu = \int_G f(x)\rho(x) dx $。
• 应用关系式 $ d\mu_x(yH) = \frac{\rho(xy)}{\rho(y)} d\mu(yH) $ 定义测度变换，支持对合的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mu$ 是 $G/H$ 上的相对不变测度时，$L^1(G/H, \mu)$ 上的卷积在什么条件下是良定义的？
• RQ2 何时商映射 $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$ 成为 $*$-同态？
• RQ3 当 $H$ 在 $G$ 中非正规时，如何在 $L^1(G/H, \mu)$ 上广义化对合？
• RQ4 左陪集空间 $G/_lH$ 与右陪集空间 $G/_rH$ 之间在等距反同态的意义下存在何种关系？
• RQ5 是否可以独立于 $G/H$ 上的群结构构造 $L^1(G/H, \mu)$ 上的对合？

主要发现

• 当 $\mu$ 是 $G/H$ 上的相对不变测度时，配备所定义卷积的 $L^1(G/H, \mu)$ 成为一个巴拿赫代数。
• 映射 $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$ 是连续的 $*$-同态，当且仅当 $H$ 是 $G$ 的正规子群。
• 构造了一个等距反同态 $^*_{l,r}: L^1(G/_lH, \mu_l) \to L^1(G/_rH, \mu_r)$，满足 $ (\varphi \ast_l \psi)^{*_{l,r}} = \psi^{*_{l,r}} \ast_r \varphi^{*_{l,r}} $。
• 对合型映射 $^*_{l,r}$ 满足 $ \|\varphi^{*_{l,r}}\|_{L^1(G/_rH, \mu_r)} = \|\varphi\|_{L^1(G/_lH, \mu_l)} $，证明了其等距性。
• 当 $H$ 是正规子群时，左陪集空间与右陪集空间重合，且对合型映射退化为 $L^1(G/H, \mu)$ 上的标准对合。
• 该构造依赖于 $\rho$-函数 $\rho$ 来定义相对不变测度 $\mu$，确保其与 $G$ 上的哈尔测度相容。